簡介：應對稅務分配

歡迎！在之前的學習中，我們探討了如何根據毛現金流量（gross cashflows）來為債券估值。然而，在現實世界中，投資者很少能把每一分錢都收進口袋。政府通常會徵收部分利息作為入息稅 (income tax)，並徵收部分利潤作為資本利得稅 (capital gains tax, CGT)。

對於精算師來說，計算債券的「公平價格」意味著要觀察淨現金流量 (net cashflows)——即真正落入投資者口袋的資金。如果這聽起來有點專業，請不要擔心；一旦你理解了「稅後 (net of tax)」的邏輯，公式就會變得容易處理得多！

1. 理解兩類稅項

當投資者購買固定利息債券時，通常面臨兩類稅項：

A. 入息稅 (Income Tax)

這是對票息 (coupons)（即定期支付的利息）徵收的稅。如果債券支付的毛票息為 \(D\)，入息稅率為 \(t_1\)，則投資者實際收到的金額為：
淨票息 (Net Coupon) = \(D \times (1 - t_1)\)

B. 資本利得稅 (Capital Gains Tax, CGT)

這是對買入價 (\(P\)) 與贖回價 (\(R\)) 之間的「利潤」徵收的稅。如果你賣出（或贖回）債券的價格高於買入價，政府就會從中抽取利潤。
資本利得 (Capital Gain) = \(R - P\) （前提是 \(R > P\)）
稅款 (Tax Amount) = \(t_2 \times (R - P)\)，其中 \(t_2\) 為資本利得稅率。

快速回顧：

  • 入息稅影響債券價格中的年金 (annuity) 部分（即票息）。
  • 資本利得稅影響結尾的一次性款項 (lump sum)（即贖回金額）。

2. 含稅的債券價格基本公式

為了計算提供淨收益率 \(i\) 的債券價格 (\(P\))，我們需要建立一個價值等式 (equation of value)。我們假設投資者想要計算所有未來淨現金流量的現值。

通用公式如下：
\(P = g(1 - t_1) a_{\overline{n}|i} + R v^n - t_2(R - P) v^n\)

其中：

  • \(P\) = 買入價
  • \(g\) = 每年毛票息率（因此 \(g \times R\) 為年度票息）
  • \(t_1\) = 入息稅率
  • \(t_2\) = 資本利得稅率
  • \(R\) = 贖回價值（通常為 100）
  • \(n\) = 距離贖回的時間
  • \(i\) = 投資者要求的淨贖回收益率

為什麼等式兩邊都有 \(P\)？

你可能會注意到 \(P\) 出現在主公式中，同時也出現在資本利得稅項中。這是因為稅款取決於價格，而價格又取決於稅款！在考試中，你通常需要重新排列這個等式來求解 \(P\)。

求解 \(P\) 的逐步移項過程：
1. 展開括號：\(P = g(1 - t_1) a_{\overline{n}|} + R v^n - t_2 R v^n + t_2 P v^n\)
2. 將所有含 \(P\) 的項移到同一邊：\(P - t_2 P v^n = g(1 - t_1) a_{\overline{n}|} + R v^n(1 - t_2)\)
3. 提取公因子 \(P\)：\(P(1 - t_2 v^n) = g(1 - t_1) a_{\overline{n}|} + R v^n(1 - t_2)\)
4. 求解：\(P = \frac{g(1 - t_1) a_{\overline{n}|} + R v^n(1 - t_2)}{1 - t_2 v^n}\)

3. 「資本利得測試」：我們需要交稅嗎？

這是很多學生丟分的關鍵點！只有在確實產生收益的情況下，才需要繳納資本利得稅。

如果買入價 (\(P\)) 高於贖回價 (\(R\))，投資者就產生了資本損失 (capital loss)。在 CM1 的課程大綱中，我們通常假設投資者在這種特定情況下不能就損失申請退稅。因此：
如果 \(P \geq R\)： 資本利得稅項直接為 0。
如果 \(P < R\)： 資本利得稅項需包含在公式中。

你知道嗎？ 這會產生一個「邏輯循環」。要確定是否需要包含資本利得稅，你需要知道 \(P\) 是否小於 \(R\)。但你現在還不知道 \(P\)！
秘訣： 比較淨票息率與淨收益率。
如果 \(g(1 - t_1) < i\)，則債券是以折價 (discount) 買入的 (\(P < R\))，因此需要繳納資本利得稅。
如果 \(g(1 - t_1) > i\)，則 \(P > R\)，無需繳納資本利得稅。

4. 收益率：當期收益率 vs 贖回收益率

雖然本章重點在於價值等式，但區分這兩個術語非常重要：

  • 淨當期收益率 (Net Running Yield)： 這僅考慮收入。計算公式為 \(\frac{g(1 - t_1)R}{P}\)。
  • 淨贖回收益率 (Net Redemption Yield)： 這是滿足完整價值等式（包括資本利得/損失和貨幣時間價值）的總體利率 \(i\)。

註：有關這些收益率基本定義的更多資訊，請參閱「當期收益率、贖回收益率與指數掛鉤債券」章節。

5. 逐步示例

題目： 某債券每年期末支付 8% 的毛票息，並在 10 年後以 100 贖回。一位投資者的入息稅率為 25%，資本利得稅率為 20%。計算該債券在提供 6% 淨年收益率下的價格。

第 1 步：資本利得測試
淨票息 = \(8\% \times (1 - 0.25) = 6\%\)。
要求的淨收益率 = \(6\%\)。
由於淨票息 = 淨收益率，價格應正好等於面值 (\(P = 100\))。在這種情況下，\(P = R\)，因此無需繳納資本利得稅。

第 2 步：如果收益率是 7% 會怎樣？
淨票息 (6%) < 淨收益率 (7%)。因此，\(P < 100\)，需要繳納資本利得稅。
使用移項後的公式：
\(P = \frac{8(1 - 0.25) a_{\overline{10}|0.07} + 100 v^{10}(1 - 0.20)}{1 - 0.20 v^{10}}\)
使用 \(i = 0.07\)：
\(a_{\overline{10}|} = 7.0236\)
\(v^{10} = 0.5083\)
\(P = \frac{(6 \times 7.0236) + (100 \times 0.5083 \times 0.80)}{1 - (0.20 \times 0.5083)} = \frac{42.1416 + 40.664}{0.89834} = 92.17\)

6. 應避免的常見陷阱

  • 混淆 \(t_1\) 與 \(t_2\)： 務必仔細檢查哪個稅率適用於票息，哪個適用於資本利得。它們通常是不同的！
  • 忽略票息支付頻率： 如果票息是每半年支付一次，請記得使用 \(a_{\overline{n}|}^{(2)}\) 或相應調整你的利率 \(i\)。
  • 忘記資本利得稅測試： 在開始計算之前，務必先進行快速檢查（比較 \(g(1-t_1)\) 與 \(i\)），看看是否適用資本利得稅。
  • 移項時的數學錯誤： 在嘗試移動各項之前，先寫出完整的價值等式通常會更安全。

核心要點

1. 稅後淨額： 始終使用淨現金流量進行計算。淨票息 = \(毛額 \times (1 - t_1)\)。
2. 資本利得稅邏輯： 資本利得稅僅在 \(P < R\) 時適用。如果買入價高於賣出價，請忽略資本利得稅。
3. 公式： 價格 \(P\) 等於淨票息的現值加上淨贖回金額的現值。
4. 移項： 應熟練掌握當 \(P\) 出現在等式兩邊時如何求解 \(P\)。