Optional redemption dates: bounds on present value

簡介：贖回日期的奧秘

在我們先前關於債券定價的研究中，通常假設贖回日期是固定的。但如果借款人（債券發行人）有權在特定時間範圍內隨時還款，情況會如何呢？這被稱為附有可選擇贖回日期的債券（bond with optional redemption dates）。

想像你借錢給一個朋友，他們說：「我會在 5 到 10 年後的某個時間點還錢給你。」作為一名精算師，你需要知道：這份債券「現在」值多少錢？由於日期不確定，我們無法找出一個精確的數值。相反，我們會尋找上下限（upper and lower bounds）——即可能出現的最大和最小現值。

如果這聽起來有點複雜，別擔心！我們會使用一個非常簡單的「經驗法則」來判斷借款人會選擇哪個日期。

註：本章內容建立在你對債券定價與收益率（Bond pricing and yields）的知識基礎上。如果你需要複習基礎債券公式，請參閱本節的前一章。

借款人的策略

最重要的一點是：借款人是理性的。他們希望節省金錢。因此，他們會選擇對自己最有利的贖回日期（相對而言，這對作為投資者的你最不利）。

為了找出現值的範圍，我們會測試贖回窗口的兩個極端（例如：最早可能的日期和最晚可能的日期）。然後，我們會確定在給定收益率下，哪個日期會導致最低的價格。

可選擇贖回的「金科玉律」

借款人想提早還是延後贖回，取決於該債券相對於其贖回價值是處於溢價（premium）還是折價（discount）狀態。

• 情況 1：贖回價格 \( > \) 淨收入（債券處於折價狀態）
  如果與借款人支付給你的利息相比，贖回款項對借款人來說是「昂貴」的，他們會希望盡可能長時間地保留你的資金。因此，他們會選擇最晚的贖回日期。
• 情況 2：贖回價格 \( < \) 淨收入（債券處於溢價狀態）
  如果利息支出（票息）對借款人來說高於最終的贖回款項，他們會希望盡快停止支付這些票息。因此，他們會選擇最早的贖回日期。

小貼士：可以把它想像成訂閱服務。如果月費很高，你會盡快取消；如果月費很划算，你就會盡可能長時間地續訂！

計算上下限

在 CM1 課程大綱中，我們特別關注給定有效利率（\(i\)）下的現值（\(P\)）。為了找出範圍，我們通常計算兩個極端日期的價格：\(n_{min}\) 和 \(n_{max}\)。

考慮所得稅和資本增值稅（CGT）的債券價格公式通常表示為：

\(P = C(1-t_1)a_{\overline{n}|}^{(p)} + Rv^n - t_2(R - P)v^n\)

其中：
\(C\) = 年票息
\(t_1\) = 所得稅率
\(R\) = 贖回價值
\(t_2\) = 資本增值稅率
\(n\) = 贖回期限

你知道嗎？雖然公式看起來很嚇人，但可選擇贖回的邏輯通常可以歸納為比較淨票息率與投資者要求的收益率。

如何確定「最壞情況」價格

1. 假設在最早日期贖回，計算價格。
2. 假設在最晚日期贖回，計算價格。
3. 下限（最低價格）是這兩個數值中的較低者。
4. 上限（最高價格）是這兩個數值中的較高者。

實例計算：尋找價格上下限

場景：一位投資者要求每年 \(8\%\) 的有效收益率。他們正在考慮一份年票息為 \(6\%\)（每年期末支付）的債券。該債券可在 10 至 15 年間的任何時間按 \(100\%\) 贖回。為簡化起見，此示例中我們將忽略稅項。

步驟 1：計算 \(n = 10\)（最早）時的價格
在 \(8\%\) 下，\(P = 6 \cdot a_{\overline{10}|} + 100 \cdot v^{10}\)
\(a_{\overline{10}|} = \frac{1 - (1.08)^{-10}}{0.08} = 6.7101\)
\(P = 6(6.7101) + 100(0.4632) = 40.26 + 46.32 = 86.58\)

步驟 2：計算 \(n = 15\)（最晚）時的價格
在 \(8\%\) 下，\(P = 6 \cdot a_{\overline{15}|} + 100 \cdot v^{15}\)
\(a_{\overline{15}|} = \frac{1 - (1.08)^{-15}}{0.08} = 8.5595\)
\(P = 6(8.5595) + 100(0.3152) = 51.36 + 31.52 = 82.88\)

分析：
投資者要求的收益率（\(8\%\)）高於票息率（\(6\%\)）。這意味著債券是以折價出售（價格 \( < 100\)）。
正如我們所預測的，下限（最低價格）出現在最晚的日期（\(n = 15\)），得出價格為 \(82.88\)。
上限（最高價格）出現在最早的日期（\(n = 10\)），得出價格為 \(86.58\)。

稅收的影響

當涉及所得稅和資本增值稅（CGT）時，原則保持不變，但你必須使用淨現金流。

如果債券可在一定範圍內的單一日期根據借款人的選擇贖回，借款人將選擇導致投資者現值最低的日期。如果題目要求計算此類債券的「價格」，基於謹慎性原則，你應始終提供最低價值。

關鍵要點：「收益率 vs. 票息」快捷法

如果沒有資本增值稅：

• 如果 收益率 \( > \) 淨票息率：最低價格在最晚日期。
• 如果 收益率 \( < \) 淨票息率：最低價格在最早日期。

應避免的常見錯誤

• 假設中間日期：千萬不要只取日期的平均值。借款人會選擇極端日期，而不是中間日期。
• 忘記稅項：在進行折現前，確保已對票息徵收所得稅，並對利潤（贖回價格減去購買價格）徵收資本增值稅。
• 混淆借款人與投資者：始終記住，借款人會選擇對他們來說最便宜的日期，這對投資者的估值而言是「最壞」的結果。