Loan schedules, capital and interest components, APR

Q: 在等額每年後付還款的安排下，貸款額與還款額之間的價值方程為何？

$L = X a_{\overline{n}|}$，其中每年等額還款額為 $X = \frac{L}{a_{\overline{n}|}}$。

Q: 若貸款每年等額分期還款 $p$ 次，每年總還款額為 $X$，其價值方程為何？

價值方程為 $L = X a_{\overline{n}|}^{(p)}$，其中 $a_{\overline{n}|}^{(p)} = \frac{1 - v^n}{i^{(p)}}$。

Q: 甚麼是計算尚未償還貸款餘額的預期法（Prospective Method）？

預期法是將時間 $t$ 之後所有未來尚待支付的還款，以合約利率貼現至時間 $t$ 求得現值：$L_t = X a_{\overline{n - t}|}$。

Q: 甚麼是計算尚未償還貸款餘額的回溯法（Retrospective Method）？

回溯法是以原貸款額在時間 $t$ 的累積值，減去所有已付還款在時間 $t$ 的累積值：$L_t = L(1 + i)^t - X s_{\overline{t}|}$。

Q: 在等額分期還款中，第 $t$ 期的還款額如何劃分為利息與本金部分？

利息部分為 $I_t = i \cdot L_{t-1} = X(1 - v^{n-t+1})$，償還本金部分為 $C_t = X - I_t = X v^{n-t+1}$。

Q: 在等額年度還款貸款中，相鄰兩期的本金償還額 $C_{t+1}$ 與 $C_t$ 有何代數關係？

本金償還額每年以利率 $i$ 呈幾何級數增長，即 $C_{t+1} = C_t(1 + i)$。

Q: 如何構建貸款攤還表並檢驗其總體本金與總利息？

每期按 $I_t = i \cdot L_{t-1}$、$C_t = X_t - I_t$ 及 $L_t = L_{t-1} - C_t$ 推算；驗算時所有本金總和 $\sum C_t = L$，總利息 $\sum I_t = \sum X_t - L$。

Q: 精算數學中實際年利率（APR）的定義及其價值方程為何？

APR 是使期初淨貸款額等於所有未來還款及各項強制性收費貼現值相等的年實際利率：$L - E_0 = \sum (X_t + e_t)(1 + \text{APR})^{-t}$。

Q: 為甚麼消費信貸所宣傳的「名義月平息（Flat Rate）」往往遠低於其真正的 APR？

因為平息是按最初借入的全額本金計算利息，忽視了本金按月被逐步償還的事實，導致真正的 APR 往往接近宣傳平息的兩倍。

Q: 當貸款在時間 $k$ 調整利率由 $i$ 變為 $i'$ 時，應如何計算新的等額還款額？

先以舊利率算得餘額 $L_k = X a_{\overline{n-k}|i}$，再在新利率下解剩餘期數方程得出 $X' = \frac{L_k}{a_{\overline{n-k}|i'}}$。

CM1 – Actuarial Mathematics for Modelling · IFoA (Institute and Faculty of Actuaries) · 閱讀約 5 分鐘 · 更新於: 2026年10月22日

貸款攤還表、本金與利息及實際年利率（APR）簡介

歡迎來到 CM1 的核心章節！無論是置業按揭、汽車貸款，還是企業項目融資，貸款都是商業金融的基石。在這一章中，我們將探討貸款的結構、每期定期還款如何劃分為利息與本金，以及如何透過實際年利率（APR）來衡量借貸的真正年度成本。

剛開始接觸時如果覺得有點複雜，千萬不要擔心。本章的核心其實只建立在大家早已熟悉的一個簡單概念上：價值方程（equation of value），即把借入的貸款額與未來還款的現值劃上等號。

考試大綱備註：本章嚴格針對課程大綱第 2.2 節（「以定期分期償還利息及本金的貸款——還款額、利息與本金組成部分、實際年利率（APR）及還款攤還表」）。本節的其他應用範疇，例如債券定價、項目評估及股票估值，則會在其他相關章節中詳細討論。

1. 貸款基本原理與還款結構

貸款的價值方程

當借入金額為 $L$，每期實際利率為 $i$，並在每期期末以一系列還款 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 償還時，時間 $t = 0$ 時的價值方程為：

$L = \sum_{t=1}^{n} X_t v^t$

其中 $v = \frac{1}{1 + i}$ 為每期的貼現因子（discount factor）。

如果貸款是以等額每年後付還款（金額為 $X$）在 $n$ 年內償還，且年實際利率為 $i$，方程便可簡化為大家熟悉的精算公式：

$L = X a_{\overline{n}|}$

其中 $a_{\overline{n}|} = \frac{1 - v^n}{i}$。由此，我們可以輕鬆求出每年的等額分期還款額：

$X = \frac{L}{a_{\overline{n}|}}$

每年支付 $p$ 次的還款（$p$-thly）

在現實生活中，像按揭這類貸款通常是按月或按季償還。如果每年還款 $p$ 次，每次償還等額款項 $\frac{X}{p}$，為期 $n$ 年（即每年還款總額為 $X$），則在年實際利率為 $i$ 的情況下，價值方程為：

$L = X a_{\overline{n}|}^{(p)}$

請溫習 $a_{\overline{n}|}^{(p)}$ 與名義利率 $i^{(p)}$ 之間的標準恆等式：

$a_{\overline{n}|}^{(p)} = \frac{1 - v^n}{i^{(p)}}$

其中 $(1 + i) = \left(1 + \frac{i^{(p)}}{p}\right)^p$。

重點複習：借款人支付的每一期還款，實際上都發揮著兩個截然不同的功用：

1. 支付貸款人就剛結束該期內尚未償還餘額所收取的利息。

2. 扣除利息後的剩餘款項，則用來扣減貸款本金。

2. 尚未償還貸款餘額：預期法與回溯法

在任何時間 $t$（$0 < t < n$），我們經常需要計算尚未償還貸款餘額，記作 $L_t$。在數學上有兩種等價的計算方法：預期法（prospective method，向前看）與回溯法（retrospective method，向後看）。

預期法貸款餘額

預期法是對未來所有尚未支付的還款進行估值：

$L_t = \text{所有未來尚待支付還款在時間 } t \text{ 的現值}$

對於等額每年還款 $X$，且尚餘 $n - t$ 期還款時：

$L_t = X a_{\overline{n - t}|}$

為甚麼考生最喜歡這個方法：在考試題目中，只要未來的還款額保持不變，這種方法幾乎永遠是最快捷、最簡單的計算途徑。

回溯法貸款餘額

回溯法則是將過去的現金流累積推進至時間 $t$ 進行估值：

$L_t = \text{原貸款額在時間 } t \text{ 的累積值} - \text{所有已付還款在時間 } t \text{ 的累積值}$

對於已支付了 $t$ 期的等額每年還款 $X$：

$L_t = L(1 + i)^t - X s_{\overline{t}|}$

其中 $s_{\overline{t}|} = \frac{(1 + i)^t - 1}{i}$。

兩種方法的等價性

只要利率 $i$ 全程保持不變，兩種方法得出的結果完全一致：

$L(1 + i)^t - X s_{\overline{t}|} = (X a_{\overline{n}|})(1 + i)^t - X \frac{(1 + i)^t - 1}{i} = X \left[ \frac{1 - v^n}{i}(1 + i)^t - \frac{(1 + i)^t - 1}{i} \right] = X \left[ \frac{1 - v^{n-t}}{i} \right] = X a_{\overline{n - t}|}$

重要竅門：若未來的還款固定且簡單，應使用預期法。若過去的還款簡單，但未來的還款有所調整或存在未知變數，則應使用回溯法。

3. 分期還款中的本金與利息部分

考慮在時間 $t$ 支付的還款額 $X_t$。它由兩部分組成：

$X_t = I_t + C_t$

其中 $I_t$ 為利息部分，而 $C_t$ 為償還本金部分。

逐步拆解

步驟 1：利息部分（$I_t$）
利息是按該期期初（即時間 $t - 1$）尚未償還的本金餘額計算的：

$I_t = i \cdot L_{t-1}$

步驟 2：本金部分（$C_t$）
償還的本金是該期還款在扣除利息後的餘額：

$C_t = X_t - I_t = X_t - i \cdot L_{t-1}$

步驟 3：更新貸款餘額
期末尚未償還的餘額等於上一期餘額減去已償還的本金：

$L_t = L_{t-1} - C_t$

等額年金貸款的代數表達式

當貸款是以等額每年還款 $X$ 償還時，我們可以將預期餘額 $L_{t-1} = X a_{\overline{n - t + 1}|}$ 代入 $I_t$ 的公式：

$I_t = i \cdot X a_{\overline{n - t + 1}|} = i \cdot X \left( \frac{1 - v^{n - t + 1}}{i} \right) = X (1 - v^{n - t + 1})$

因此，本金部分為：

$C_t = X - I_t = X - X (1 - v^{n - t + 1}) = X v^{n - t + 1}$

請留意這個優雅的等比數列！對於等額年度還款：

$C_t = X v^{n - t + 1}$

$C_{t+1} = X v^{n - (t+1) + 1} = X v^{n - t} = C_t(1 + i)$

考考你：在等額還款的安排下，償還本金的部分每年會以利率 $i$ 呈幾何級數增長：$C_{t+1} = C_t (1 + i)$，而利息部分 $I_t$ 則隨著尚未償還的本金減少而逐年遞減。

4. 貸款攤還表（Loan Schedule）

貸款攤還表（又稱還款排期表）記錄了貸款在各個時間步長中的演變情況。應考 CM1B（Excel 試卷）的考生經常需要構建此類表格，而應考 CM1A（Word 試卷）的考生則可能被要求手算個別行數，或解釋不同項目之間的相互關係。

等額還款攤還表結構

年份 $t$	期初未償還餘額 $L_{t-1}$	總分期還款額 $X_t$	已付利息 $I_t = i \cdot L_{t-1}$	已還本金 $C_t = X_t - I_t$	期末未償還餘額 $L_t = L_{t-1} - C_t$
$1$	$X a_{\overline{n}\|}$	$X$	$X (1 - v^n)$	$X v^n$	$X a_{\overline{n-1}\|}$
$2$	$X a_{\overline{n-1}\|}$	$X$	$X (1 - v^{n-1})$	$X v^{n-1}$	$X a_{\overline{n-2}\|}$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$t$	$X a_{\overline{n-t+1}\|}$	$X$	$X (1 - v^{n-t+1})$	$X v^{n-t+1}$	$X a_{\overline{n-t}\|}$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$n$	$X a_{\overline{1}\|}$	$X$	$X (1 - v)$	$X v$	$0$
總計	—	$n \cdot X$	$n X - L$	$L$	—

實用驗算方法：所有償還本金的總和必須等於最初的貸款總額：

$\sum_{t=1}^n C_t = \sum_{t=1}^n X v^{n - t + 1} = X (v^n + v^{n-1} + \dots + v) = X a_{\overline{n}|} = L$

而整個貸款期內支付的總利息，就只不過是：

$\sum_{t=1}^n I_t = \sum_{t=1}^n X_t - \sum_{t=1}^n C_t = n X - L$

5. 逐步示範例題：計算組成部分與餘額

某借款人借入一筆 \$10,000 的貸款，分 5 年於每年期末以等額年金償還，年實際利率為 $6\%$。

步驟 1：計算每年等額還款額 $X$

$a_{\overline{5}|} = \frac{1 - (1.06)^{-5}}{0.06} = \frac{1 - 0.747258}{0.06} = 4.212364$

$X = \frac{10000}{4.212364} = 2373.96$

步驟 2：計算第 1 年的各項組成部分

$I_1 = 0.06 \times 10000 = 600.00$

$C_1 = X - I_1 = 2373.96 - 600.00 = 1773.96$

$L_1 = 10000 - 1773.96 = 8226.04$

步驟 3：直接計算第 3 年的各項組成部分

無須逐年推算第 2 年的數據，我們可以直接套用標準公式：

$C_3 = X v^{5 - 3 + 1} = X v^3 = 2373.96 \times (1.06)^{-3} = 2373.96 \times 0.839619 = 1993.22$

$I_3 = X - C_3 = 2373.96 - 1993.22 = 380.74$

利用時間 $t = 2$ 的預期餘額進行驗算：

$L_2 = X a_{\overline{3}|} = 2373.96 \times \frac{1 - (1.06)^{-3}}{0.06} = 2373.96 \times 2.673012 = 6345.62$

$I_3 = 0.06 \times L_2 = 0.06 \times 6345.62 = 380.74$。（結果完全相符！）

6. 實際利率：實際年利率（APR）

甚麼是 APR？

貸款機構公佈的表面宣傳利率，往往未能反映借款人真正承擔的經濟成本，因為當中可能包含強制性的預繳行政費、估價費、手續費或複利計算頻率等因素。為保障消費者並提供一致的比較基準，法例要求貸款機構必須列明實際年利率（APR）。

在精算數學中，APR 被定義為使借款人收取的淨貸款額與其支付的所有還款及強制性費用現值相等的年實際利率。

APR 的價值方程

若借款人借入名義貸款額 $L$，但需在期初支付手續費 $E_0$，隨後在各個時間 $t$ 支付分期還款 $X_t$ 以及定期費用或收費 $e_t$，則 APR 就是滿足下列方程的唯一利率 $i$：

$L - E_0 = \sum_{t} (X_t + e_t)(1 + i)^{-t}$

從另一角度來看：

$t = 0 \text{ 時收取的淨款項} = \text{借款人所有支出以 APR 貼現後的現值}$

重要提示：由於各項手續費會減少期初實際收取的淨貸款額，因此 APR 必定大於或等於債務所標明的名義利率或合約利率。

常見陷阱：名義月平息（Flat Rates）對比實際年利率（APR）

商業消費信貸中最常見的手法，就是引用「月平息」（flat rate）。

例子：貸款機構提供一筆 \$1,000 的 1 年期貸款，聲稱「平息只需 $10\%$，分 12 個月等額償還」。

收取的總利息為 $10\% \times 1000 = \$100$。總還款額 = \$1,100，即每月分期還款為：

$\frac{1100}{12} = 91.67$

實際利率（APR）真的只是 $10\%$ 嗎？絕對不是！因為借款人並沒有在整年間完整佔用那 \$1,000；本金每個月都在逐步償還。用以計算月實際利率 $j$ 的價值方程為：

$1000 = 91.67 a_{\overline{12}|j}$

求解可得每月實際利率 $j \approx 1.498\%$。因此實際年利率（APR）為：

$\text{APR} = (1 + j)^{12} - 1 \approx (1.01498)^{12} - 1 \approx 19.5\%$

APR 幾乎是平息的兩倍！請時刻牢記：只要還款隨時間逐步減少尚未償還的本金，真正的 APR 就會顯著高於所報的平息。

7. 處理貸款條件變更（利率變更及提前還款）

在精算考試中，題目經常考核大家在貸款條件中途發生變化時的應變與計算能力。

利率變動

假設利率在時間 $k$ 由 $i$ 調整為 $i'$：

1. 計算尚未償還餘額 $L_k$：在剛支付時間 $k$ 的還款後，利用原有利率 $i$ 計算：

$L_k = X a_{\overline{n-k}|i}$

2. 確定新的還款額 $X'$：以新利率 $i'$ 計算剩餘 $n - k$ 期的還款額：

$L_k = X' a_{\overline{n-k}|i'} \implies X' = \frac{L_k}{a_{\overline{n-k}|i'}}$

3. 如果維持每期還款額 $X$ 不變，則需計算清還剩餘餘額所需的新期限 $m$：

$L_k = X a_{\overline{m}|i'}$

提前償還部分本金

若借款人在時間 $k$ 額外償還一筆過本金 $C^*$：

新的尚未償還餘額為 $L_k' = L_k - C^*$。借款人通常可以選擇：

• 減少未來每期還款額：保持原有的剩餘還款期數 $n - k$，並解方程 $L_k' = X_{\text{new}} a_{\overline{n-k}|}$。

• 縮短還款期：保持每期還款額 $X$ 不變，並從 $L_k' = X a_{\overline{m}|}$ 解出縮短後的剩餘期數 $m$。

8. 核心公式摘要

概念	公式
價值方程（每年還款）	$L = X a_{\overline{n}\|i}$
價值方程（每年支付 $p$ 次）	$L = X a_{\overline{n}\|i}^{(p)}$
預期法餘額	$L_t = X a_{\overline{n-t}\|i}$
回溯法餘額	$L_t = L(1 + i)^t - X s_{\overline{t}\|i}$
時間 $t$ 的利息部分	$I_t = i \cdot L_{t-1} = X(1 - v^{n-t+1})$
時間 $t$ 的本金部分	$C_t = X_t - I_t = X v^{n-t+1}$
本金增長關係式	$C_{t+1} = C_t(1 + i)$
APR 價值方程	$L - \text{期初費用} = \sum (\text{分期還款} + \text{雜費}) \cdot (1 + \text{APR})^{-t}$

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在等額每年後付還款的安排下，貸款額與還款額之間的價值方程為何？

$L = X a_{\overline{n}|}$，其中每年等額還款額為 $X = \frac{L}{a_{\overline{n}|}}$。

若貸款每年等額分期還款 $p$ 次，每年總還款額為 $X$，其價值方程為何？

價值方程為 $L = X a_{\overline{n}|}^{(p)}$，其中 $a_{\overline{n}|}^{(p)} = \frac{1 - v^n}{i^{(p)}}$。

甚麼是計算尚未償還貸款餘額的預期法（Prospective Method）？

預期法是將時間 $t$ 之後所有未來尚待支付的還款，以合約利率貼現至時間 $t$ 求得現值：$L_t = X a_{\overline{n - t}|}$。

甚麼是計算尚未償還貸款餘額的回溯法（Retrospective Method）？

回溯法是以原貸款額在時間 $t$ 的累積值，減去所有已付還款在時間 $t$ 的累積值：$L_t = L(1 + i)^t - X s_{\overline{t}|}$。

在等額分期還款中，第 $t$ 期的還款額如何劃分為利息與本金部分？

利息部分為 $I_t = i \cdot L_{t-1} = X(1 - v^{n-t+1})$，償還本金部分為 $C_t = X - I_t = X v^{n-t+1}$。

在等額年度還款貸款中，相鄰兩期的本金償還額 $C_{t+1}$ 與 $C_t$ 有何代數關係？

本金償還額每年以利率 $i$ 呈幾何級數增長，即 $C_{t+1} = C_t(1 + i)$。

如何構建貸款攤還表並檢驗其總體本金與總利息？

每期按 $I_t = i \cdot L_{t-1}$、$C_t = X_t - I_t$ 及 $L_t = L_{t-1} - C_t$ 推算；驗算時所有本金總和 $\sum C_t = L$，總利息 $\sum I_t = \sum X_t - L$。

精算數學中實際年利率（APR）的定義及其價值方程為何？

APR 是使期初淨貸款額等於所有未來還款及各項強制性收費貼現值相等的年實際利率：$L - E_0 = \sum (X_t + e_t)(1 + \text{APR})^{-t}$。

為甚麼消費信貸所宣傳的「名義月平息（Flat Rate）」往往遠低於其真正的 APR？

因為平息是按最初借入的全額本金計算利息，忽視了本金按月被逐步償還的事實，導致真正的 APR 往往接近宣傳平息的兩倍。

當貸款在時間 $k$ 調整利率由 $i$ 變為 $i'$ 時，應如何計算新的等額還款額？

先以舊利率算得餘額 $L_k = X a_{\overline{n-k}|i}$，再在新利率下解剩餘期數方程得出 $X' = \frac{L_k}{a_{\overline{n-k}|i'}}$。

若借款人在時間 $k$ 額外償還一筆過本金 $C^*$，之後的貸款餘額與還款額有何改變？

新的貸款餘額即時降為 $L_k' = L_k - C^*$；借款人可選擇以 $L_k' = X_{\text{new}} a_{\overline{n-k}|}$ 調低每期還款，或以 $L_k' = X a_{\overline{m}|}$ 縮短還款期數。

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年份 \(t\)	期初未償還餘額 \(L_{t-1}\)	總分期還款額 \(X_t\)	已付利息 \(I_t = i \cdot L_{t-1}\)	已還本金 \(C_t = X_t - I_t\)	期末未償還餘額 \(L_t = L_{t-1} - C_t\)
\(1\)	\(X a_{\overline{n}\|}\)	\(X\)	\(X (1 - v^n)\)	\(X v^n\)	\(X a_{\overline{n-1}\|}\)
\(2\)	\(X a_{\overline{n-1}\|}\)	\(X\)	\(X (1 - v^{n-1})\)	\(X v^{n-1}\)	\(X a_{\overline{n-2}\|}\)
\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)
\(t\)	\(X a_{\overline{n-t+1}\|}\)	\(X\)	\(X (1 - v^{n-t+1})\)	\(X v^{n-t+1}\)	\(X a_{\overline{n-t}\|}\)
\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)
\(n\)	\(X a_{\overline{1}\|}\)	\(X\)	\(X (1 - v)\)	\(X v\)	\(0\)
總計	—	\(n \cdot X\)	\(n X - L\)	\(L\)	—

概念	公式
價值方程（每年還款）	\(L = X a_{\overline{n}\|i}\)
價值方程（每年支付 \(p\) 次）	\(L = X a_{\overline{n}\|i}^{(p)}\)
預期法餘額	\(L_t = X a_{\overline{n-t}\|i}\)
回溯法餘額	\(L_t = L(1 + i)^t - X s_{\overline{t}\|i}\)
時間 \(t\) 的利息部分	\(I_t = i \cdot L_{t-1} = X(1 - v^{n-t+1})\)
時間 \(t\) 的本金部分	\(C_t = X_t - I_t = X v^{n-t+1}\)
本金增長關係式	\(C_{t+1} = C_t(1 + i)\)
APR 價值方程	\(L - \text{期初費用} = \sum (\text{分期還款} + \text{雜費}) \cdot (1 + \text{APR})^{-t}\)