学习笔记：纯数学 3 (Paper 3)
第 3.9 章：复数 (Complex Numbers)
欢迎来到复数的世界！本章将代数、几何与三角学连接起来，提供了一个强大的数学工具，用以解决在实数系统中无法求解的方程。
我们的旅程将从使复数成为可能的概念开始：虚数单位。
1. 基础概念：引入 \(i\) 与笛卡尔形式 (Cartesian Form)
在引入复数之前，像 \(x^2 + 1 = 0\) 这样的方程在实数系统中是无解的。复数通过定义一个新单位解决了这个问题。
虚数单位 \(i\)
虚数单位，记作 \(i\)，其定义为：
\(i^2 = -1\)
\(i = \sqrt{-1}\)
由此定义，\(i\) 的整数幂次呈现四个一组的循环规律：
\(i^1 = i\)
\(i^2 = -1\)
\(i^3 = -i\)
\(i^4 = 1\)
定义与关键术语（笛卡尔形式）
一个复数通常记作 \(z\)，以笛卡尔形式写为：
\(z = x + iy\)
其中 \(x\) 与 \(y\) 为实数。
• \(z\) 的实部 (Real Part) 为 \(x\)。（符号表示：\(\text{Re}\,z = x\)）
• \(z\) 的虚部 (Imaginary Part) 为 \(y\)。（符号表示：\(\text{Im}\,z = y\)。注意：虚部是实数 \(y\)，而不是 \(iy\)！）
• 两个复数 \(z_1 = x_1 + iy_1\) 与 \(z_2 = x_2 + iy_2\) 相等 (\(z_1 = z_2\)) 的充要条件是，它们的实部相等且虚部相等：\(x_1 = x_2\) 且 \(y_1 = y_2\)。
1.1 笛卡尔形式的算术运算
对笛卡尔形式 (\(x + iy\)) 的复数进行运算，与标准代数运算类似，运用恒等式 \(i^2 = -1\)。
A. 加法与减法： 将实部与虚部分别相加或相减。
例子： 若 \(z_1 = 3 + 4i\) 且 \(z_2 = 1 - i\)：
\(z_1 + z_2 = (3 + 1) + (4 - 1)i = 4 + 3i\)
B. 乘法： 像展开二项式一样相乘，并将 \(i^2\) 替换为 \(-1\)。
例子： 若 \(z_1 = 3 + 4i\) 且 \(z_2 = 1 - i\)：
\(z_1 z_2 = (3)(1) + (3)(-i) + (4i)(1) + (4i)(-i)\)
\(z_1 z_2 = 3 - 3i + 4i - 4i^2\)
\(z_1 z_2 = 3 + i - 4(-1) = 7 + i\)
C. 除法与共轭复数：
共轭复数 (\(z^*\))
\(z = x + iy\) 的共轭复数为 \(z^* = x - iy\)。你只需要改变虚部的符号即可。
• 当你将一个复数乘以它的共轭复数时，结果总是一个实数：
\(z z^* = (x + iy)(x - iy) = x^2 - i^2 y^2 = x^2 + y^2\)
除法步骤说明
要计算 \(z_1\) 除以 \(z_2\)，需将分子与分母同时乘以分母的共轭复数 \(z_2^*\)：
\(\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 z_2^*}{z_2 z_2^*}\)
例子： 化简 \(\frac{3 + 4i}{1 - i}\)：
\(\frac{3 + 4i}{1 - i} = \frac{(3 + 4i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{3 + 3i + 4i + 4i^2}{1^2 + 1^2} = \frac{-1 + 7i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{7}{2}i\)
1.2 多项式方程与共轭根
• 对于任何拥有实系数的多项式方程，任何非实数根都必须成共轭对出现。
• 若 \(z = a + ib\)（其中 \(b \neq 0\)）是实系数方程 \(P(z) = 0\) 的根，则 \(z^* = a - ib\) 也一定是其根。
• 例子： 若 \(z = 1 + 2i\) 是一个实系数三次方程的根，则 \(z^* = 1 - 2i\) 也必定是其根，这意味着 \((z - (1 + 2i))(z - (1 - 2i)) = z^2 - 2z + 5\) 是该多项式的一个二次因子。
2. 几何表示法：阿甘图 (Argand Diagram)
复数可以在阿甘图上进行几何绘制：
• 水平轴是实轴 (Real Axis) (\(\text{Re}\))。
• 垂直轴是虚轴 (Imaginary Axis) (\(\text{Im}\))。
复数 \(z = x + iy\) 可以表示为点 \((x, y)\)，或表示为从原点指向 \((x, y)\) 的位置向量。
2.1 模 (Modulus) 与辐角 (Argument)
A. 模 (\(|z|\) 或 \(r\))：
模是指从原点到点 \(z\) 的距离：
\(|z| = r = \sqrt{x^2 + y^2}\)
B. 辐角 (\(\arg z\) 或 \(\theta\))：
辐角是指从正实轴到 \(z\) 的位置向量所夹的角（以弧度为单位）。
• 主辐角 (Principal argument) 取值范围在 \(-\pi < \theta \le \pi\) 内。
• 要计算 \(\arg z\)，首先求出锐角参考角 \(\alpha = \arctan\left|\frac{y}{x}\right|\)，然后根据 \(x\) 与 \(y\) 的正负号判断所在象限：
- 第一象限 (\(x > 0, y > 0\))：\(\theta = \alpha\)
- 第二象限 (\(x < 0, y > 0\))：\(\theta = \pi - \alpha\)
- 第三象限 (\(x < 0, y < 0\))：\(\theta = -(\pi - \alpha) = \alpha - \pi\)
- 第四象限 (\(x > 0, y < 0\))：\(\theta = -\alpha\)
3. 极坐标形式与指数形式 (\(re^{i\theta}\))
利用模 \(r\) 与辐角 \(\theta\)，复数可以表示为：
• 极坐标形式 (Polar Form)： \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)
• 指数形式 (Exponential Form)： \(z = re^{i\theta}\)
3.1 极坐标形式/指数形式下的乘法与除法
若 \(z_1 = r_1 e^{i\theta_1}\) 且 \(z_2 = r_2 e^{i\theta_2}\)：
A. 乘法： 模相乘，辐角相加。
\(z_1 z_2 = (r_1 r_2)e^{i(\theta_1 + \theta_2)}\)
• \(|z_1 z_2| = |z_1||z_2| = r_1 r_2\)
• \(\arg(z_1 z_2) = \arg z_1 + \arg z_2 = \theta_1 + \theta_2\)（如有需要，调整至 \(-\pi < \theta \le \pi\) 范围内）
B. 除法： 模相除，辐角相减。
\(\frac{z_1}{z_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)e^{i(\theta_1 - \theta_2)}\)
• \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} = \frac{r_1}{r_2}\)
• \(\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg z_1 - \arg z_2 = \theta_1 - \theta_2\)
4. 平方根、轨迹 (Loci) 与几何效果
4.1 寻找复数的两个平方根
求 \(\sqrt{a + ib}\)，设其平方根为 \(z = x + iy\)：
1. 建立方程 \((x + iy)^2 = a + ib\)。
2. 展开：\(x^2 - y^2 + 2ixy = a + ib\)。
3. 比较实部与虚部：
\(x^2 - y^2 = a\)（实部）
\(2xy = b\)（虚部）
4. 将 \(y = \frac{b}{2x}\) 代入 \(x^2 - y^2 = a\)，得出关于 \(x^2\) 的二次方程。
5. 解出 \(x\) 的实数值，并计算对应的 \(y\) 值。两个平方根互为相反数：\(z = \pm(x_0 + iy_0)\)。
4.2 阿甘图中的轨迹与不等式
令 \(z\) 代表动点，并令 \(a\) 与 \(b\) 为代表点 \(A\) 与 \(B\) 的固定复数。
1. 圆与圆形区域：
• \(|z - a| = k\) 代表以 \(a\) 为圆心、半径为 \(k\) 的圆。
• \(|z - a| \le k\) 代表闭圆盘（边界圆及其内部区域）。
• \(|z - a| < k\) 代表开内部区域（边界圆以虚线绘制）。
2. 垂直平分线与半平面：
• \(|z - a| = |z - b|\) 代表连接 \(A\) 与 \(B\) 之线段的垂直平分线。
• \(|z - a| \le |z - b|\) 代表包含所有距离 \(A\) 小于或等于距离 \(B\) 的点的半平面。
3. 半直线（射线）与角区域：
• \(\arg(z - a) = \alpha\) 代表从 \(A\) 出发、与正实轴方向成 \(\alpha\) 角的半直线（射线）（点 \(A\) 本身不包含在内）。
• \(\alpha \le \arg(z - a) \le \beta\) 代表从 \(A\) 出发、夹在角度为 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 的两条射线之间的扇形区域。
4.3 运算的几何效果
• 共轭 (\(z \to z^*\))： 关于实轴的反射。
• 加法/减法 (\(z_1 \pm z_2\))： 遵循平行四边形法则的向量加法或减法。
• 乘以 \(re^{i\theta}\)： 以原点为中心，放大至 \(r\) 倍并逆时针旋转角度 \(\theta\)。
• 除以 \(re^{i\theta}\)： 以原点为中心，缩放至 \(\frac{1}{r}\) 倍并顺时针旋转角度 \(\theta\)。