纯数学 3（Pure Mathematics 3）：微分综合学习笔记

欢迎来到纯数学 3（Pure Mathematics 3）的微分章节！微分不仅仅是求斜率，它是我们测量瞬时变化率的数学工具。无论是计算抛射物的最大高度，还是分析水箱中水位的上升速度，微分都是不可或缺的。

在 P3 中，我们将以 P1（多项式和基本的链式法则）和 P2（基本的 \(e^x\) 和 \(\ln x\)）的知识为基础，引入更强大的规则来处理复杂的函数——特别是涉及积、商、隐函数和参数方程的函数。

P1/P2 预备知识要点：

你必须熟练掌握幂函数的标准导数公式：\(\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}\)。

1. P3 微分核心工具箱

在 P3 中，我们将标准导数的知识范围扩展到了指数函数、对数函数以及更广泛的三角函数。

你需要掌握的 P3 标准导数
函数 \(f(x)\) 导数 \(f'(x)\) 或 \(\frac{dy}{dx}\)
\(e^x\) \(e^x\)
\(\ln x\) \(\frac{1}{x}\)
\(\sin x\) \(\cos x\)
\(\cos x\) \(-\sin x\)
\(\tan x\) \(\sec^2 x\)
\(\tan^{-1} x\) \(\frac{1}{1 + x^2}\)

（你知道吗？\(\tan^{-1} x\) 的导数是考试中要求必须记住并会使用的标准结果之一！）

链式法则（复合函数）

当你遇到函数嵌套函数的情况时，就需要使用链式法则。这通常被称为复合函数求导法则。

如果 \(y = f(u)\) 且 \(u = g(x)\)，那么：

\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}\)

类比：洋葱法则！ 从外层函数开始，剥掉一层（对其求导），然后乘以内层函数（下一层）的导数。

复合函数 \(y = e^{f(x)}\) 的求导步骤：

  • 例子： \(y = e^{3x^2 + 5}\)
  • 外层函数 (f(u))： \(e^u\)，其中 \(u = 3x^2 + 5\)。导数为 \(e^u\)。
  • 内层函数 (u)： \(3x^2 + 5\)。导数为 \(\frac{du}{dx} = 6x\)。
  • 结果： \(\frac{dy}{dx} = e^{3x^2 + 5} \times (6x) = 6x e^{3x^2 + 5}\)。

避免常见错误：

对 \(\ln(f(x))\) 求导时，导数是 \(\frac{f'(x)}{f(x)}\)。许多学生容易忘记乘以内层函数 \(f'(x)\) 的导数！
例如：若 \(y = \ln(2x^3)\)，则 \(\frac{dy}{dx} = \frac{6x^2}{2x^3} = \frac{3}{x}\)。

关键点总结（第 1 部分）

熟练掌握链式法则是核心基础。务必识别出内层函数并乘以其导数。

2. 高级微分技巧

P3 要求掌握三种处理乘积、商或非常规变量关系的专门求导技巧。

2.1 乘法法则（Product Rule）

当 \(y\) 是两个关于 \(x\) 的函数的乘积时，使用此法则。若 \(y = uv\)，其中 \(u\) 和 \(v\) 均为关于 \(x\) 的函数：

\(\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}\)

助记法： “前导后不导 + 后导前不导”。保持一个函数不变对另一个求导，然后交换角色并相加。

分步示例： \(y = x^2 \sin(3x)\)

  1. 确定 \(u\) 和 \(v\)：
    • \(u = x^2 \implies \frac{du}{dx} = 2x\)
    • \(v = \sin(3x) \implies \frac{dv}{dx} = 3 \cos(3x)\) （使用链式法则）
  2. 应用法则：

    \(\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} = x^2 (3 \cos(3x)) + \sin(3x) (2x)\)

  3. 化简：

    \(\frac{dy}{dx} = 3x^2 \cos(3x) + 2x \sin(3x)\)

2.2 除法法则（Quotient Rule）

当 \(y\) 为分式且分子分母均为关于 \(x\) 的函数时，使用此法则。若 \(y = \frac{u}{v}\)：

\(\frac{dy}{dx} = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}\)

助记口诀： “分母不导分子导，减去分子不导分母导，平方分母记牢了！”（此处“分母”即 \(v\)，“分子”即 \(u\)）。

警告！ 由于中间是减号，顺序非常重要！请务必始终从 \(v\)（分母）开始。

2.3 隐函数求导（Implicit Differentiation）

当 \(x\) 和 \(y\) 之间的关系式很复杂，且难以或无法显式表达 \(y\) 时（例如 \(x^2 + y^2 = xy + 7\)），需要使用此技巧。

对隐函数求导时，将每一个涉及 \(y\) 的项视为关于 \(x\) 的复合函数。

  • 法则： 对包含 \(y\) 的项求导时，先按常规对 \(y\) 求导，然后立即乘以 \(\frac{dy}{dx}\)（应用链式法则）。
  • 例子： 对 \(y^3\) 关于 \(x\) 求导：
    \(\frac{d}{dx} (y^3) = 3y^2 \times \frac{dy}{dx}\)
  • 例子： 对 \(xy\) 关于 \(x\) 求导：（使用乘法法则！）
    • \(u = x \implies \frac{du}{dx} = 1\)
    • \(v = y \implies \frac{dv}{dx} = 1 \times \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dx}\)
    • 结果： \(\frac{d}{dx} (xy) = x \frac{dy}{dx} + y(1)\)
2.4 参数方程求导（Parametric Differentiation）

参数方程通过第三个变量（通常是 \(t\) 或 \(\theta\)）来描述曲线。 （想象 \(x\) 和 \(y\) 都是时间 \(t\) 的函数。为了求斜率 \(\frac{dy}{dx}\)，我们将它们的变化率联系起来。）

如果 \(x = f(t)\) 且 \(y = g(t)\)，导数公式为：

\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \div \frac{dx}{dt}\)

分步过程：

  1. 计算 \(\frac{dx}{dt}\)（\(x\) 对 \(t\) 的导数）。
  2. 计算 \(\frac{dy}{dt}\)（\(y\) 对 \(t\) 的导数）。
  3. 用 \(\frac{dy}{dt}\) 除以 \(\frac{dx}{dt}\)，得到最终用 \(t\) 表示的斜率 \(\frac{dy}{dx}\)。
  4. 如果题目要求特定点的斜率，代入对应的 \(t\) 值即可。

关键点总结（第 2 部分）

乘法法则和除法法则需要准确记忆公式。隐函数和参数方程求导则完全依赖于链式法则的原理。

3. 微分在 P3 中的应用

3.1 切线与法线

一阶导数 \(\frac{dy}{dx}\) 总是给出曲线上某点切线的斜率。

  • 切线斜率 (\(m_T\))： \(m_T = \frac{dy}{dx}\)
  • 法线斜率 (\(m_N\))： 法线垂直于切线。\(m_N = -\frac{1}{m_T}\)

得到斜率 \(m\) 和点 \((x_1, y_1)\) 后，使用直线方程： \(y - y_1 = m(x - x_1)\)。

3.2 相关变化率

这涉及到使用链式法则将通过第三个变量联系在一起的两个变化率关联起来。这是 P3 中常见的应用题。

如果你想求 \(\frac{dA}{dt}\)，且已知 \(\frac{dA}{dr}\) 和 \(\frac{dr}{dt}\)，可以将它们“连接”起来：

\(\frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dr} \times \frac{dr}{dt}\)

（类比：如果你知道球体半径 (\(r\)) 随时间的变化率 (\(\frac{dr}{dt}\))，又知道体积 (\(V\)) 如何随半径变化 (\(\frac{dV}{dr}\))，你就能求出体积随时间的变化率 (\(\frac{dV}{dt}\))。）

记得检查单位！ 变化率通常给出的是“每秒”或“每分钟”，所以时间 \(t\) 的单位必须一致。

3.3 驻点（极大值与极小值）

当导数为零时出现驻点：\(\frac{dy}{dx} = 0\)。

要判断驻点的性质（极大值或极小值），可以使用二阶导数测试：

  • 计算二阶导数：\(\frac{d^2y}{dx^2}\)。
  • 将驻点的 \(x\) 坐标代入 \(\frac{d^2y}{dx^2}\)。

二阶导数记忆法：

若 \(\frac{d^2y}{dx^2} > 0\)（正数/笑脸），该点为极小值点。

若 \(\frac{d^2y}{dx^2} < 0\)（负数/哭脸），该点为极大值点。

3.4 函数的增减性

一阶导数还能告诉我们函数的整体行为：

  • 若 \(\frac{dy}{dx} > 0\)，函数单调递增。
  • 若 \(\frac{dy}{dx} < 0\)，函数单调递减。

例如，要找出 \(y\) 递增的区间，只需解不等式 \(\frac{dy}{dx} > 0\)。

P3 微分快速复习

P3 章节要求极高的精确度。如果规则看起来很复杂也不必担心——熟能生巧！以下是 P3 的核心法则总结：

乘法法则 (uv)： \(u v' + v u'\)

除法法则 (\(\frac{u}{v}\))： \(\frac{v u' - u v'}{v^2}\)

隐函数： 对 \(y\) 项按常规求导，然后乘以 \(\frac{dy}{dx}\)。

参数方程： \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \div \frac{dx}{dt}\)

变化率（链式法则）： \(\frac{A}{C} = \frac{A}{B} \times \frac{B}{C}\)

保持代数运算整洁，并熟记那些标准导数公式。你可以做到的！