Numerical solution of equations

方程的数值解 (P3/Paper 3)

欢迎来到令人兴奋的数值方法世界！本章的重点在于求出那些过于复杂而无法使用标准代数技巧（例如一元二次方程求根公式或简单因式分解）解决的方程的解（根）。由于我们无法求得精确答案，我们将会使用各种方法来寻找极高精度的近似值。这在应用数学和科学领域中至关重要！

如果这听起来很复杂，别担心——我们只是在学习如何做出越来越准确的推测！

---

1. 定位根：起点

在开始进行根的近似之前，我们需要大致了解它的位置。我们有两种主要方法来确定根的位置：

1.1 变号规则（“跨越坐标轴”测试）

定位根最简单且最可靠的方法是测试根两侧的函数值。

假设你有一个方程 \(f(x) = 0\)。如果你能找到两个值，\(a\) 和 \(b\)，使得：

• \(f(a)\) 是正数（例如 \(f(a) > 0\)）
• \(f(b)\) 是负数（例如 \(f(b) < 0\)）
• 函数 \(f(x)\) 在 \(a\) 和 \(b\) 之间是连续的（意味着没有断点或间隙）。

……那么，在 \(x=a\) 和 \(x=b\) 之间，\(f(x) = 0\) 必定至少存在一个根（解）。

比喻： 想象你正走过一个山谷。如果你从山上开始（高度为正），最后到达山谷的另一边低于海平面（高度为负），假设你没有跳过整个山谷，那么你在某个点上必定跨越了海平面（高度为零）！

重要前置检查： 你必须确保该函数是连续的。对于 9709 考纲中涉及的所有函数（多项式、指数、对数、三角函数），除非区间包含了垂直渐近线（例如 \(y = \tan x\) 或 \(y = 1/x\)），否则这通常是成立的。

1.2 使用图解法定位根

有时，直接观察图象来定位根会更容易，特别是在方程比较复杂的时候。

如果你有一个方程 \(f(x) = 0\)，你通常可以将其改写为两个独立、较简单的函数：

\(y_1 = g(x)\) 和 \(y_2 = h(x)\)

原方程 \(f(x)=0\) 的根，就是这两个函数图象 \(y_1\) 和 \(y_2\) 交点的 \(x\) 坐标。

例子： 要找出 \(e^x - x^2 = 0\) 的根，我们可以改写为 \(e^x = x^2\)。接着绘制：

• \(y_1 = e^x\)（指数曲线）
• \(y_2 = x^2\)（抛物线）

通过绘图，你可以直观地估计有多少个根及其大致位置（例如：“一个根在 \(x=-0.7\) 附近，另一个在 \(x=1.3\) 附近”）。

---

2. 迭代法：一步步逼近

当你知道根在 \(x_0\) 附近后，我们使用迭代法 (iteration) 来多次精炼该推测值，直到达到所需的精度。

2.1 迭代公式 \(x_{n+1} = F(x_n)\)

数值迭代的核心是将方程 \(f(x) = 0\) 改写为 \(x = F(x)\) 的形式。

这让我们能定义一连串的近似值：

\(x_{n+1} = F(x_n)\)

• 从初始推测值 \(x_0\) 开始。
• 计算下一个近似值：\(x_1 = F(x_0)\)。
• 接着：\(x_2 = F(x_1)\)。
• 依此类推：计算出 \(x_n\)，即可得到 \(x_{n+1}\)。

如果这一串数值（\(x_0, x_1, x_2, \dots\)）越来越接近某个单一固定值，我们就说该数列收敛 (converges) 到根 \(\alpha\)。由于当 \(n\) 很大时 \(x_{n+1} \approx x_n\)，我们发现 \(\alpha = F(\alpha)\)，这正是原方程的解。

2.2 将 \(f(x)=0\) 改写为 \(x = F(x)\)

对于任何一个方程 \(f(x)=0\)，通常有许多种方法将其改写为 \(x = F(x)\) 的形式。

例子： 解 \(x^3 - 2x - 5 = 0\)

改写方式 A：

\(x^3 = 2x + 5\)
\(x = (2x + 5)^{1/3}\)

这给出了迭代公式：\(x_{n+1} = (2x_n + 5)^{1/3}\)

改写方式 B：

\(2x = x^3 - 5\)
\(x = \frac{x^3 - 5}{2}\)

这给出了迭代公式：\(x_{n+1} = \frac{x_n^3 - 5}{2}\)

你知道吗？ 并非所有的改写方式都有效！如果你选择了错误的改写方式，迭代可能会发散 (diverge)（离根越来越远）。在考试中，通常题目会给定你应使用的特定改写方式，或者要求你找出一种看起来有效的改写方式。

---

3. 执行迭代与判断精度

3.1 逐步迭代（计算器技巧）

有效运用迭代公式是一项关键技能，通常使用计算器上的 ANS 键来完成。

程序清单：

1. 从 \(x_0\) 开始： 输入初始推测值（题目通常会给定，例如 \(x_0 = 1\)）。按 [=]。
2. 输入 \(F(x)\)： 输入迭代公式，用 ANS 取代 \(x_n\)。
例子（对于 \(x_{n+1} = (2x_n + 5)^{1/3}\)）： 输入 \((2 \times \text{ANS} + 5)^{1/3}\)。
3. 迭代： 重复按 [=]。第一次按得到 \(x_1\)，第二次得到 \(x_2\)，依此类推。
4. 记录： 记下数值序列，直到它们稳定（即在所需的小数位数下不再改变）。

迭代例子： 若从 \(x_0 = 1\) 开始，数列可能为：
\(x_0 = 1.000000\)
\(x_1 = 1.709976\)
\(x_2 = 1.883395\)
\(x_3 = 1.918967\)
\(x_4 = 1.925893\)
\(x_5 = 1.927282\)
\(x_6 = 1.927558\)
\(x_7 = 1.927613\)
\(x_8 = 1.927624\)

此时，如果题目要求精确到小数点后 4 位 (4 d.p.)，则答案为 \(1.9276\)。

3.2 证明根的精度（最终变号测试）

迭代过程会给你一个看似稳定的值。为了证明该值精确到特定位数（例如小数点后 3 位），你必须回到原始函数 \(f(x)\)，并在一个微小的区间内使用变号规则。

假设题目要求证明根为 \(\alpha = 1.928\)，精确到 3 位小数。

这意味着真正的根必须位于该近似值的下界和上界之间：

• 下界： \(1.9275\)
• 上界： \(1.9285\)

逐步证明：

1. 定义原始函数 \(f(x)\)。 （例如，如果我们解的是 \(x^3 - 2x - 5 = 0\)，则 \(f(x) = x^3 - 2x - 5\)）。
2. 计算 \(f(\text{下界})\)：求出 \(f(1.9275)\)。
3. 计算 \(f(\text{上界})\)：求出 \(f(1.9285)\)。
4. 检查符号： 如果符号相反，则真正的根位于该区间内，从而证实四舍五入至 3 位小数后，根确实为 \(1.928\)。

避免常见错误： 学生有时会尝试使用迭代函数 \(F(x)\) 来进行变号检查。你必须使用原始函数 \(f(x)\)。

---

4. 迭代的图解法（收敛）

迭代数列 \(x_{n+1} = F(x_n)\) 的行为可以通过绘制 \(y = x\) 和 \(y = F(x)\) 的图象来可视化。

根 \(\alpha\) 即是交点，因为在交点处 \(x = F(x)\)。

4.1 可视化收敛与发散

为了可视化这个数列，我们绘制一条在直线 \(y=x\) 和曲线 \(y=F(x)\) 之间交替的路径：

1. 在 \(x\)-轴上从 \(x_0\) 开始。
2. 垂直移动到曲线 \(y = F(x)\)。此高度为 \(y_0 = F(x_0) = x_1\)。
3. 从曲线水平移动到直线 \(y = x\)。此处的 \(x\)-坐标现在为 \(x_1\)。
4. 从直线 \(y = x\) 垂直移动回曲线 \(y = F(x)\)。此高度为 \(y_1 = F(x_1) = x_2\)。
5. 重复步骤 2、3、4。

产生的形状可以显示出两种主要的成功迭代（收敛）或失败（发散）情况。

阶梯式收敛 (Staircase Convergence)

如果路径形成一系列阶梯状并导向根部，则迭代成功。

当曲线 \(y=F(x)\) 在根附近的斜率较小且为正时，就会发生这种情况。

蛛网式收敛 (Cobweb Convergence)

如果路径呈螺旋状向内旋转至根部（像蛛网一样），则迭代成功。

当曲线 \(y=F(x)\) 在根附近的斜率较小且为负时，就会发生这种情况。

发散 (Divergence)（失败）

如果路径远离交点，则迭代无法收敛。当曲线 \(y=F(x)\) 在根附近太陡时，就会发生这种情况。

给拓展学习的备注： 虽然你不需要了解收敛的正式数学条件（这涉及导数 \(|F'(x)|\) 的大小），但你需要明白迭代可能会无法收敛，而图解法有助于可视化为何某些改写方式比其他方式更好。