Integration

💪 纯数学 3 (Paper 3) 学习笔记：积分 (Topic 3.5) 💪

各位 A-Level 数学战友大家好！欢迎来到 Paper 3 的积分章节。如果微分是在求“变化率”，那么积分就是终极的侦探工作——还原函数本尊（并计算曲线下方的面积！）。

在 Pure Mathematics 1 和 2 中，你已经掌握了基础。现在到了 P3，我们会遇到真正棘手的函数——积、商，以及需要进阶代数处理才能开始计算的式子。这一章至关重要，因为当中的技巧在后续的微分方程 (Differential Equations, Topic 3.8) 中会被频繁用到。

准备好挑战最难的积分了吗？让我们开始吧！

1. 扩展基本积分形式 (微分的逆运算)

记得，积分就是微分的逆运算。对于 P3，我们必须熟练掌握涉及 \((ax+b)\) 因子的指数函数、三角函数和有理函数的积分。

快速回顾：\(ax+b\) 规则

当积分形式为 \(f(ax+b)\) 的函数时，我们照常对 \(f\) 进行积分，然后除以内部函数的导数 (\(a\))。别忘了积分常数 \(+C\)！

\( \int e^{ax+b} \, dx = \frac{1}{a} e^{ax+b} + C \)
\( \int \sin(ax+b) \, dx = -\frac{1}{a} \cos(ax+b) + C \)
\( \int \cos(ax+b) \, dx = \frac{1}{a} \sin(ax+b) + C \)
\( \int \sec^2(ax+b) \, dx = \frac{1}{a} \tan(ax+b) + C \)
\( \int \frac{1}{ax+b} \, dx = \frac{1}{a} \ln|ax+b| + C \)

你知道吗？ \(\sec^2 x\) 的积分之所以简单，是因为你知道它的导数是 \(\tan x\)。确保你在 P3 前已背熟所有标准三角函数的导数！

反正切函数形式 (新的 P3 标准)

我们现在引入一个新的标准积分，其结果为反三角函数：

\( \int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C \)

记忆小窍门：注意对称性。如果你对 \(\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\) 求导，你会得到 \(\frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2} \cdot \frac{1}{a}\)。积分公式中额外的 \(\frac{1}{a}\) 就是为了补偿这个微分时产生的系数。

2. 利用三角恒等式积分

你不能直接积分平方三角函数（例如 \(\int \sin^2 x \, dx\)），因为它本质上是积 (\(\sin x \cdot \sin x\))。

诀窍在于使用二倍角公式，将表达式重写为我们“能够”积分的简单项之和或差。

关键恒等式转换：

要积分 \(\sin^2 x\) 或 \(\cos^2 x\)，请使用由以下公式推导出的恒等式： \( \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \quad \text{或} \quad \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \)

\(\sin^2 x\) 的积分公式： \( \sin^2 x = \frac{1}{2}(1 - \cos 2x) \)
由此：\( \int \sin^2 x \, dx = \int \frac{1}{2}(1 - \cos 2x) \, dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + C \)

\(\cos^2 x\) 的积分公式： \( \cos^2 x = \frac{1}{2}(1 + \cos 2x) \)
由此：\( \int \cos^2 x \, dx = \int \frac{1}{2}(1 + \cos 2x) \, dx = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x + C \)

常见错误：积分 \(\cos(2x)\) 或 \(\sin(2x)\) 时忘记除以 2。记住 \(ax+b\) 规则！

3. 利用部分分式积分有理函数

这是 P3 最强大的技术之一。当你看到一个分母是可以因式分解的多项式的分式时，请立即联想到“部分分式”(Partial Fractions)！

类比：想象一个复杂的分式就像一块棘手的拼图。我们把它拆解成几个我们可以积分的较简单的小块（部分分式，通常会得到 \(\ln\) 项或 \(\tan^{-1}\) 项）。

分步流程：

1. 检查次数：确保分子的次数小于分母的次数。（如果不小于，你必须先进行代数多项式长除法，尽管这在 P3 题目中通常受到限制）。
2. 拆解：将积分项表示为较简单分式的和。
3. 解出常数：使用代入法或比较系数法来求出未知常数（A, B, C 等）。
4. 积分：分别积分每个部分分式。这些通常会产生 \(\ln\) 项或 \(\tan^{-1}\) 形式的 \(\frac{1}{x^2+a^2}\)。

分母的三种类型 (源自 P3 课程大纲 3.1)：

此技术仅限于分母不超过以下复杂度的情况：

1. 不同的线性因子： (例如 \((ax+b)(cx+d)\))
\( \frac{P(x)}{(x-1)(x+2)} \equiv \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} \)
(积分产生两个 \(\ln\) 项。)

2. 重复的线性因子： (例如 \((ax+b)(cx+d)^2\))
\( \frac{P(x)}{(x-1)(x+2)^2} \equiv \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{(x+2)^2} \)
(最后一项使用幂规则积分，将 \((x+2)^{-2}\) 视为 \(u^n\)。)

3. 线性与不可约二次因子： (例如 \((ax+b)(cx^2+d)\))
\( \frac{P(x)}{(x-1)(x^2+4)} \equiv \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+4} \)
(二次因子通常需要将积分分为两部分：一部分用于 \(\ln\) 形式，另一部分用于 \(\tan^{-1}\) 形式。)

4. 识别对数形式：\(\int \frac{k f'(x)}{f(x)} \, dx\)

这是 P3 的必备技能，经常与部分分式或代换法一起使用。

原则

如果分子是分母的导数（或其常数倍），则积分结果基于分母的自然对数。

\( \int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + C \)

分步范例

求 \( \int \frac{3x^2 + 2}{x^3 + 2x - 5} \, dx \)。

1. 识别分母：\(f(x) = x^3 + 2x - 5\)。
2. 求其导数：\(f'(x) = 3x^2 + 2\)。
3. 比较：分子正好是 \(f'(x)\)！
4. 结果：\( \ln|x^3 + 2x - 5| + C \)。

处理常数 (\(k\))

如果导数缺少常数项怎么办？你必须进行调整！

求 \( \int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx \)。

1. 分母：\(f(x) = x^2 + 1\)。导数：\(f'(x) = 2x\)。
2. 分子只有 \(x\)，缺少了 \(2x\)。我们需要引入因子 2。
3. 将积分写作：\( \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx \)
4. 结果：\( \frac{1}{2} \ln|x^2 + 1| + C \)。

5. 分部积分法 (Integration by Parts)：乘积法则的逆运算

当你需要积分两种不同类型函数的积（例如 \(x \sin x\)、\(x^2 e^x\) 或 \(\ln x\)）时，使用分部积分法。

公式

如果 \(u\) 和 \(v\) 是 \(x\) 的函数：
\( \int u \frac{dv}{dx} \, dx = uv - \int v \frac{du}{dx} \, dx \)

选择 \(u\) 和 \(\frac{dv}{dx}\)

分部积分的成败完全取决于你选择哪个作为 \(u\)（用来微分的），以及哪个作为 \(\frac{dv}{dx}\)（用来积分的）。

目标是使新的积分 (\(\int v \frac{du}{dx} \, dx\)) 比原积分更简单。

选择诀窍 (ILATE/LIATE)：按照此优先顺序选择 \(u\)：

L: Logarithmic (对数函数，如 \(\ln x\))
I: Inverse trigonometric (反三角函数，如 \(\tan^{-1} x\))
A: Algebraic (代数函数，如 \(x, x^2\))
T: Trigonometric (三角函数，如 \(\sin x, \cos x\))
E: Exponential (指数函数，如 \(e^x\))

范例：要积分 \(x \sin 2x\)。\(x\) 是代数函数 (A)，\(\sin 2x\) 是三角函数 (T)。在 LIATE 中 A 在 T 之前，因此设 \(u = x\) 且 \(\frac{dv}{dx} = \sin 2x\)。

积分 \(\ln x\)

你不能直接积分 \(\ln x\)。分部积分法是唯一的方法！

要计算 \( \int \ln x \, dx \)，将积分视为乘积：\( \int (\ln x \cdot 1) \, dx \)。

设 \(u = \ln x\) (对数，优先级 1)
设 \(\frac{dv}{dx} = 1\) (代数)

进阶分部积分 (重复与循环)

重复使用：如果你积分像 \(x^2 e^x\) 这样的函数，你必须使用两次公式，因为微分 \(x^2\) 需要两次才能消去幂次。
循环积分：像 \(\int e^x \sin x \, dx\) 这样的函数似乎会循环。在两次应用公式后，原积分会出现在右侧。你必须将该积分本身视为未知数 (\(I\))，并解代数方程来找出 \(I\)。

6. 代换积分法 (Integration by Substitution)

在 P3 中，你通常需要使用题目指定的代换式来简化并计算积分。这意味着你不需要猜测代换式；题目会提供（例如：“使用代换 \(u = \sin x\)”）。

这个技巧将包含 \(x\) 的复杂积分转化为包含 \(u\) 的简单积分。

分步代换流程

我们想使用代换 \( u = g(x) \) 来求解 \( \int f(x) \, dx \)。

1. 对 \(u\) 微分： 求出 \(\frac{du}{dx}\)。 例如：如果 \(u = \sin x\)，则 \(\frac{du}{dx} = \cos x\)。
2. 代换 \(dx\)： 整理微分结果，找出 \(dx\) 以 \(du\) 表示的式子。 例如：\(dx = \frac{du}{\cos x}\)。
3. 代换 \(x\) 项： 使用代换定义 \(u=g(x)\)，将原积分中所有剩余的 \(x\) 项替换掉。所有项必须变为 \(u\) 和 \(du\)。
4. (定积分关键步骤) 变更上下限： 如果积分是定积分（有上下限 \(a\) 和 \(b\)），需将 \(a\) 和 \(b\) 代入代换式 \(u = g(x)\) 计算出新的上下限 \(u_1\) 和 \(u_2\)。 \( u_1 = g(a) \quad \text{和} \quad u_2 = g(b) \)
5. 积分： 求解以 \(u\) 表示的简化积分。
6. 最后一步： 如果是不定积分，将 \(u\) 代回 \(g(x)\)。如果是定积分，使用新的上下限 \(u_1\) 和 \(u_2\) 求值。

类比：代换就像货币兑换。你不能用美元开始进行复杂计算，然后以欧元结束，而不把所有数值（包括开始和结束的金额——即上下限！）都转换过来。

7. 数值积分：梯形法则 (The Trapezium Rule)

当函数无法进行解析积分，或数据以离散点给出时，我们使用梯形法则来近似计算定积分的值。

公式

使用宽度相等（\(h = \frac{b - a}{n}\)）的 \(n\) 个条柱来估算 \( \int_a^b y \, dx \)：

\( \int_a^b y \, dx \approx \frac{1}{2}h \left[ (y_0 + y_n) + 2(y_1 + y_2 + \dots + y_{n-1}) \right] \)

\(h\)： 条柱宽度（步长）。
\(y_0, y_n\)： “端点”纵坐标（首个和最后一个 \(y\) 值）。
\(y_1, \dots, y_{n-1}\)： “内部”纵坐标（乘以 2）。
注意：\(n\) 个条柱需要 \(n+1\) 个纵坐标（\(y\) 值）。

判断过高估计 (Over-estimate) 与过低估计 (Under-estimate)

在 Paper 3 中，题目经常要求你通过观察草图来判断梯形法则得出的是过高估计还是过低估计：

过高估计： 当曲线向下凸 (convex downwards) 时（切线位于曲线下方；割线顶部横跨于曲线上方）。
过低估计： 当曲线向下凹 (concave downwards) 时（曲线向下弯曲；割线顶部横跨于曲线下方）。