纯数学 1：第 1.7 章 微分学习笔记
你好！欢迎来到激动人心的微分世界。本章是数学的核心——简单来说，微分就是用来研究事物变化快慢的数学工具。只要掌握了微分，你就拥有了解决速度、增长、运动以及最优化问题的利器。
准备好开始了吗？让我们拆解一下 Paper 1 中的核心概念！
1. 概念：寻找瞬时变化率
什么是微分？（直观理解）
想象你在开车。你的平均速度是总距离除以总时间。但如果你想知道在那一瞬间的速度呢？微分告诉我们的正是这个：瞬时变化率。
从几何上讲，曲线 \(y = f(x)\) 在某一点的变化率，就是该点切线的斜率。
考试大纲要求大家理解：曲线的斜率是割线斜率的极限，即当割线的两个端点无限靠近时所达到的状态。不必纠结于利用“导数定义”（First Principles）进行的严谨推导，理解这个概念即可！
关键符号：
- 一阶导数（即导函数）记作：\(\frac{dy}{dx}\) 或 \(f'(x)\)。
- 二阶导数记作：\(\frac{d^2y}{dx^2}\) 或 \(f''(x)\)。（稍后我们会用它来判断驻点的性质。）
你知道吗？ 微分是微积分的支柱，由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·莱布尼茨在 17 世纪各自独立创立。它永远地改变了数学的面貌！
2. 微分法则（纯数学 1）
在 P1 中，我们主要关注多项式函数以及含有 \(x\) 幂次的简单函数微分。
2.1 幂函数求导法则 (Power Rule)
这是 P1 中最重要的规则。如果函数为 \(y = x^n\)，其导数为：
\[ \frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1} \]
分步小技巧：
- 把指数 \(n\) 提到前面作为系数相乘。
- 把原来的指数减去 1。
例子：
- 若 \(y = x^5\)，则 \(\frac{dy}{dx} = 5x^{5-1} = 5x^4\)。
- 若 \(y = 3x^2\)，则 \(\frac{dy}{dx} = 3(2x^{2-1}) = 6x\)。
2.2 和、差及常数求导法则
微分具有线性，这意味着你可以逐项求导。
- 常数法则： 若 \(y = c\)（\(c\) 为常数，如 5 或 -10），则 \(\frac{dy}{dx} = 0\)。（水平直线的斜率为零。）
- 和/差法则： 若 \(y = u \pm v\)，则 \(\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} \pm \frac{dv}{dx}\)。
例子： 若 \(y = 4x^3 - 7x + 10\)，则：
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(4x^3) - \frac{d}{dx}(7x) + \frac{d}{dx}(10) \]
\[ \frac{dy}{dx} = 12x^2 - 7 + 0 = 12x^2 - 7 \]
2.3 处理根式与分数（非整数幂）
幂函数求导法则适用于任何有理数幂 \(n\)（正数、负数或分数）。你必须首先使用指数记法重写函数。
必备的重写步骤：
- \(\sqrt{x} = x^{1/2}\)
- \(\frac{1}{x^n} = x^{-n}\)
- \(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{-1/3}\)
例子： 对 \(y = \frac{2}{x^3} + 5\sqrt{x}\) 求导
第一步：重写： \(y = 2x^{-3} + 5x^{1/2}\)
第二步：求导（对每一项应用幂函数求导法则）：
\[ \frac{dy}{dx} = 2(-3)x^{-3-1} + 5(\frac{1}{2})x^{1/2 - 1} \]
\[ \frac{dy}{dx} = -6x^{-4} + \frac{5}{2}x^{-1/2} \]
第三步：（可选但更美观）用正指数重写： \(\frac{dy}{dx} = -\frac{6}{x^4} + \frac{5}{2\sqrt{x}}\)
2.4 链式法则 (Chain Rule，针对 P1 中的复合函数)
当你遇到函数嵌套（如 \((3x+1)^4\)）时，就需要使用链式法则。在 P1 中，它通常适用于形式为 \((ax+b)^n\) 的复合函数。
链式法则公式：若 \(y\) 是 \(u\) 的函数，而 \(u\) 是 \(x\) 的函数，则：
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} \]
P1 简化方法（外层与内层）：
如果 \(y = (ax+b)^n\)：
- 对外层括号求导（应用幂函数法则）。
- 将结果乘以内层括号的导数（即 \(a\)）。
例子： 求 \(y = (5x - 2)^3\) 的 \(\frac{dy}{dx}\)
外层： 对幂/括号求导：\(3(5x - 2)^2\)
内层： 对内部 (\(5x - 2\)) 求导：\(5\)
结果： \(\frac{dy}{dx} = 3(5x - 2)^2 \times 5 = 15(5x - 2)^2\)
快速复习：P1 微分检查清单
我们只微分那些由 \(x^n\) 的和、差或常数倍组成的表达式，其中 \(n\) 为有理数（如 2, -1, 1/2, -3 等）。
避开常见错误： 不要错误处理类似 \(\frac{1}{3x^2}\) 的项。应将其重写为 \(\frac{1}{3}x^{-2}\)，而不是 \(3x^{-2}\) 或 \((3x)^{-2}\)。
3. 微分的应用
3.1 斜率、切线与法线
一阶导数 \(\frac{dy}{dx}\) 在特定 \(x\) 值处的值，代表了曲线在该点的斜率。
求切线方程的步骤：
- 找到切点坐标 \((x_1, y_1)\)（如果只给了 \(x\)，将其代入 \(y=f(x)\) 即可）。
- 通过求 \(\frac{dy}{dx}\) 并代入 \(x_1\) 来计算切线斜率 \(m_T\)。
- 使用直线方程的点斜式：\(y - y_1 = m_T(x - x_1)\)。
求法线：
法线是与切线垂直（成 90° 角）的直线。
如果切线的斜率为 \(m_T\)，则法线的斜率 \(m_N\) 为：
\[ m_N = -\frac{1}{m_T} \]
例子： 若切线斜率为 2，则法线斜率为 \(-1/2\)。
3.2 函数的增减性
我们利用导数的符号来描述函数的行为：
- 递增函数： 斜率为正，\(\frac{dy}{dx} > 0\)。
- 递减函数： 斜率为负，\(\frac{dy}{dx} < 0\)。
4. 驻点（极大值与极小值）
驻点（或称拐点/临界点）是曲线上斜率为零的点。在这些点上，曲线的增减趋势发生了瞬间的停顿。
\[ \text{在驻点处：} \frac{dy}{dx} = 0 \]
定位并判断驻点性质的步骤
第一步：求一阶导数，即 \(\frac{dy}{dx}\)。
第二步：令 \(\frac{dy}{dx} = 0\) 并求解 \(x\)。这些 \(x\) 值就是驻点的位置。
第三步：找到对应的 \(y\) 坐标，将 \(x\) 值代回原函数 \(y = f(x)\)。
第四步：判断性质（是极大值、极小值还是其他？）：
方法 A：使用二阶导数判别法 (\(\frac{d^2y}{dx^2}\))
- 求二阶导数，即 \(\frac{d^2y}{dx^2}\)。
- 将驻点的 \(x\) 值代入 \(\frac{d^2y}{dx^2}\)。
- 如果 \(\frac{d^2y}{dx^2} > 0\)，这是极小值点（U 型）。（正数意味着“笑脸/山谷”。）
- 如果 \(\frac{d^2y}{dx^2} < 0\)，这是极大值点（n 型）。（负数意味着“苦脸/山丘”。）
- 如果 \(\frac{d^2y}{dx^2} = 0\)，此方法失效，必须使用方法 B。
方法 B：使用符号测试法（若二阶导数测试失效，必须使用）
检查驻点 \(x=a\) 前后极小区间内导数的符号。
- 极大值： 斜率从正 (+) 变为零 (0) 再变为负 (-)。（先上坡，后下坡。）
- 极小值： 斜率从负 (-) 变为零 (0) 再变为正 (+)。（先下坡，后上坡。）
注：P1 考纲不要求掌握“拐点”（如 \(y=x^3\) 在 \(x=0\) 处，斜率为零但既非极大也非极小）。
关键点总结： 驻点帮助我们找到函数的最高点和最低点，这在最优化问题（例如最大化利润或最小化材料成本）中至关重要。
5. 相关变化率
在现实问题中，变量往往随时间 (\(t\)) 而改变。本节利用链式法则结构连接两个不同的变化率。
如果量 A 和量 B 都随时间 (\(t\)) 而改变，且 A 和 B 之间存在函数关系，我们就能找到它们变化率之间的关系：
\[ \frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dB} \times \frac{dB}{dt} \]
其中 \(\frac{dA}{dB}\) 可以通过对连接 A 和 B 的公式求导得到。
类比： 想象吹气球。打气速率是 \(\frac{dV}{dt}\)（体积变化率）。我们想求半径增加的快慢，即 \(\frac{dr}{dt}\)。连接两者的公式是体积公式 \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)。
例子步骤（圆面积的变化）：
如果圆的半径 \(r\) 以 \(0.5 \text{ cm/s}\) 的速率增加，求当 \(r=4\text{ cm}\) 时，面积 \(A\) 的增加速率。
已知速率： \(\frac{dr}{dt} = 0.5\)
目标速率： \(\frac{dA}{dt}\)
连接公式： \(A = \pi r^2\)
第一步：求中间导数： \(\frac{dA}{dr} = 2\pi r\)
第二步：使用链式法则公式： \(\frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dr} \times \frac{dr}{dt}\)
第三步：代入数值：
当 \(r=4\) 时，\(\frac{dA}{dr} = 2\pi (4) = 8\pi\)
\[ \frac{dA}{dt} = (8\pi) \times (0.5) = 4\pi \text{ cm}^2/\text{s} \]
这展示了微分如何帮助我们管理多个同时变化的关联变量！
🔥 P1 微分掌握检查清单
你必须能够：
- 使用指数记法重写表达式（如 \(x^{-3}\) 或 \(x^{1/2}\)）。
- 应用幂函数求导法则：\(\frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1}\)。
- 对形如 \((ax+b)^n\) 的表达式应用链式法则。
- 求曲线在某一点的斜率。
- 求切线和法线的方程。
- 定位驻点并使用二阶导数测试法进行分类。
- 使用链式法则结构解决相关变化率问题。