Trigonometry

AS & A Level 数学 (9709) 纯数学 1：三角函数

未来的数学家们，你们好！欢迎来到三角函数的神奇世界。本章将在你们已有的 SOH CAH TOA 基础上进行深度拓展，让你能够处理任意大小的角、绘制三角函数图像，并解出各种复杂的周期方程。

三角函数之所以至关重要，是因为它能够描述所有呈周期性规律的现象，例如波、声音、光线和轨道运行。掌握这一部分不仅是顺利通过 Paper 1 的关键，也为后续 Paper 2 和 Paper 3 中更深入的恒等式和微积分打下坚实基础。让我们开始吧！

1. 圆的度量：弧度制 (Circular Measure: The Radian System, 1.4 节复习)

在进入高级三角函数之前，我们必须确保你已经习惯使用弧度 (radians)，因为它们是微积分和高等数学运算中的标准单位。

什么是弧度？

弧度是指圆心角所对的弧长等于半径时，该圆心角的大小。
类比：想象有一根长度正好等于圆半径的绳子。当你把这根绳子沿着圆周摆放时，它所对的圆心角正好就是 1 弧度。

角度与弧度的转换

你必须牢记的核心关系是：
\(180^\circ = \pi \text{ 弧度}\)

• 角度转弧度：乘以 \(\frac{\pi}{180}\)。
• 弧度转角度：乘以 \(\frac{180}{\pi}\)。

快速复习：常见的弧度对应值

• \(360^\circ = 2\pi\)
• \(90^\circ = \frac{\pi}{2}\)
• \(45^\circ = \frac{\pi}{4}\)
• \(30^\circ = \frac{\pi}{6}\)
• \(60^\circ = \frac{\pi}{3}\)

弧长与扇形面积公式

这些公式只有在角度 \(\theta\) 为弧度时才适用。记得时刻检查你的单位！

1. 弧长 (\(s\))：曲线的长度。
\(s = r\theta\)

2. 扇形面积 (\(A\))：“披萨切片”的面积。
\(A = \frac{1}{2}r^2\theta\)

重点摘要（圆的度量）：当题目要求使用弧长或扇形面积公式，或者涉及微积分（微分/积分通常默认使用弧度）时，请务必将单位换算为弧度。

2. 核心三角函数图像与变换

你需要能够绘制并使用三个基本三角函数在任意角度下的图像。了解它们的形状、周期、值域 (range) 和振幅 (amplitude) 对于解方程至关重要。

正弦函数：\(y = \sin x\)

• 周期：\(360^\circ\) 或 \(2\pi\) 弧度。（每 \(360^\circ\) 重复一次）
• 值域：\(-1 \le y \le 1\)。
• 振幅：1。
• 起点：从 \((0, 0)\) 开始。（SINE 以 Zero 开始）

余弦函数：\(y = \cos x\)

• 周期：\(360^\circ\) 或 \(2\pi\) 弧度。
• 值域：\(-1 \le y \le 1\)。
• 振幅：1。
• 起点：从 \((0, 1)\) 开始。（COSINE 以 One 开始）

正切函数：\(y = \tan x\)

• 周期：\(180^\circ\) 或 \(\pi\) 弧度。（重复得更快！）
• 值域：\(y \in \mathbb{R}\)（所有实数）。
• 渐近线 (Asymptotes)：出现在 \(\cos x = 0\) 的地方，即 \(x = 90^\circ, 270^\circ\) 等。

图像变换（教学大纲要求）

你必须能够绘制出显示变换效果的图像。这些遵循与一般函数变换（1.2 节）相同的规则。

1. 垂直拉伸 / 振幅改变：\(y = a \sin x\)

图像垂直拉伸了 \(a\) 倍。新的振幅是 \(|a|\)，值域变为 \(-|a| \le y \le |a|\)。
例子：对于 \(y = 3 \sin x\)，振幅是 3，值域是 \(-3 \le y \le 3\)。

2. 周期改变 / 水平拉伸：\(y = \sin (b x)\)

图像在水平方向上被压缩。周期变为 \(\frac{360^\circ}{b}\) 或 \(\frac{2\pi}{b}\)。\(b\) 代表在 \(360^\circ\) 内完成的周期数。
例子：对于 \(y = \cos (2x)\)，周期是 \(180^\circ\) (\(\frac{360^\circ}{2}\))。

3. 垂直平移 / 中线改变：\(y = \sin x + d\)

图像向上平移 \(d\) 个单位。新的中线为 \(y=d\)。
例子：对于 \(y = 1 - \cos 2x\)，原本的余弦波（通常在 -1 到 1 之间）被翻转 (\(-\cos\)) 并向上平移了 1 个单位。现在的值域是 \(0 \le y \le 2\)。

4. 水平平移 / 相位改变：\(y = \sin (x - c)\)

图像水平平移 \(c\) 个单位。（记住：\(-c\) 向右移，\(+c\) 向左移）。
例子：对于 \(y = \tan(x + \frac{1}{4}\pi)\)，正切图像向左平移了 \(\frac{\pi}{4}\) 个单位。

重点摘要（图像）：熟记正弦、余弦和正切的基本值域和周期。变换会以可预测的方式影响这些属性。务必密切注意题目所要求的范围！

3. 基本恒等式与精确值

A. 精确值

你必须在不使用计算器的情况下，知道 \(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\)（以及它们对应的弧度值）的精确值。这些常在证明题或要求以根式形式作答的问题中考查。

精确值表

| 角度 \(\theta\) | \(30^\circ\) (\(\frac{\pi}{6}\)) | \(45^\circ\) (\(\frac{\pi}{4}\)) | \(60^\circ\) (\(\frac{\pi}{3}\)) |
|---|---|---|---|
| \(\sin \theta\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) 或 \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) |
| \(\cos \theta\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) 或 \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(\tan \theta\) | \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) 或 \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) |

你知道吗？这些数值源自两个三角形：一个对半切开的等边三角形（用于 30° 和 60°）和一个对半切开的正方形（用于 45°）。

B. P1 三角恒等式

在 P1 中，你只需要掌握两个核心恒等式。它们是你简化表达式、证明恒等式以及将方程转化为单一函数（通常是二次方程）的工具。

1. 商的关系恒等式

\(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)

2. 勾股恒等式 (Pythagorean Identity)

这直接来自于单位圆内直角三角形的勾股定理（其中斜边为 1）。
\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)

这个恒等式极具灵活性！你应该能够熟练地将其变形为两个重要形式：

• \(\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta\)
• \(\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta\)

C. 证明三角恒等式

剑桥 P1 经常考核恒等式证明。要证明一个恒等式成立：

1. 选择较复杂的一边（通常是左边，LHS），并对其进行化简运算，直到它等于另一边（RHS）。切勿像解方程那样跨越等号移项。
2. 在适当的时候将 \(\tan\theta\) 表示为 \(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)。
3. 在合适的情况下将分数通分化为同分母，或进行因式分解。
4. 利用 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)（或其变形）消除混合的平方项。

重点摘要（恒等式）：如果你同时看到 \(\sin\) 和 \(\cos\)，或者出现平方项，请考虑使用 \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) 来简化，或者将表达式转换为二次方程。

4. 解简单三角方程

解三角方程意味着寻找满足给定方程的角度，通常是在特定的范围内（例如 \(0^\circ \le x \le 360^\circ\) 或 \(-\pi < x < \pi\)）。

CAST 图或“All Students Take Calculus”记忆法

由于三角函数是周期的，在给定区间内通常有多于一个解。CAST 图可以帮你在四个象限中找到具有相同基本比率的角度。

• A (All)：所有比率 (\(\sin, \cos, \tan\)) 均为正值（第 1 象限：\(0^\circ \text{ 到 } 90^\circ\)）。
• S (Sine)：只有 \(\sin\) 为正值（第 2 象限：\(90^\circ \text{ 到 } 180^\circ\)）。
• T (Tangent)：只有 \(\tan\) 为正值（第 3 象限：\(180^\circ \text{ 到 } 270^\circ\)）。
• C (Cosine)：只有 \(\cos\) 为正值（第 4 象限：\(270^\circ \text{ 到 } 360^\circ\)）。

如何找到第二个解：

• 若基本角为 \(\alpha\)：
• 第 1 象限：\(\alpha\)
• 第 2 象限：\(180^\circ - \alpha\) (或 \(\pi - \alpha\))
• 第 3 象限：\(180^\circ + \alpha\) (或 \(\pi + \alpha\))
• 第 4 象限：\(360^\circ - \alpha\) (或 \(2\pi - \alpha\))

如果起初觉得棘手，不用担心！熟能生巧，请务必每次都按照以下结构化方法进行。

解 \(3 \cos x + 1 = 0\) (范围 \(0^\circ \le x \le 360^\circ\)) 的步骤指南

第一步：分离三角比

我们需要独立出 \(\cos x\)：
\(3 \cos x = -1\)
\(\cos x = -\frac{1}{3}\)

第二步：找出基本角 (\(\alpha\))

暂时忽略负号，使用 \(\cos^{-1}\) 找出锐角 \(\alpha\)：
\(\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \approx 70.53^\circ\)

第三步：使用 CAST 图或图像确定象限

由于 \(\cos x\) 是负数，解必须位于 S (Sine) 和 T (Tangent) 象限（第 2 和第 3 象限）。

第四步：计算最终解

• 解 1 (第 2 象限)：\(x = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 70.53^\circ \approx 109.5^\circ\) (角度通常保留 1 位小数)。
• 解 2 (第 3 象限)：\(x = 180^\circ + \alpha = 180^\circ + 70.53^\circ \approx 250.5^\circ\) (1 位小数)。

\(109.5^\circ\) 和 \(250.5^\circ\) 都在 \(0^\circ \le x \le 360^\circ\) 的范围内。

处理复杂的角度（例如 \(2x\) 或 \(x+30^\circ\)）

如果角度本身发生了变换（例如 \(3 \sin(2x) = 1\)），则必须先变换定义域 (domain)。

例子：在 \(0^\circ \le x \le 360^\circ\) 的范围内解 \(\sin(2x) = 0.5\)。

第一步：变换定义域

如果 \(0^\circ \le x \le 360^\circ\)，那么 \(2x\) 的新定义域是 \(0^\circ \le 2x \le 720^\circ\)。我们必须在两次完整的圆周旋转中找到所有解。

第二步：找出 \(2x\) 的基本角和解

基本角 \(\alpha = \sin^{-1}(0.5) = 30^\circ\)。因为 \(\sin\) 为正，我们使用第 1 和第 2 象限。
第一圈的解 (\(0^\circ \text{ 到 } 360^\circ\))：

• \(2x = 30^\circ\) (Q1)
• \(2x = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\) (Q2)

第二圈的解 (\(360^\circ \text{ 到 } 720^\circ\))：

• \(2x = 30^\circ + 360^\circ = 390^\circ\)
• \(2x = 150^\circ + 360^\circ = 510^\circ\)

第三步：解出 \(x\)

将所有角度除以 2：
\(x = 15^\circ, 75^\circ, 195^\circ, 255^\circ\)

解三角二次方程

许多复杂的三角问题都需要利用恒等式将方程转换为二次方程形式（以 \(\sin \theta\), \(\cos \theta\) 或 \(\tan \theta\) 表示）。

例子：解 \(3 \sin^2 \theta - 5 \cos \theta - 1 = 0\)。

第一步：转换为单一三角函数

使用恒等式 \(\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta\)：
\(3(1 - \cos^2 \theta) - 5 \cos \theta - 1 = 0\)
\(3 - 3 \cos^2 \theta - 5 \cos \theta - 1 = 0\)
\(2 - 3 \cos^2 \theta - 5 \cos \theta = 0\)
乘以 -1 并整理：
\(3 \cos^2 \theta + 5 \cos \theta - 2 = 0\)

第二步：解二次方程

设 \(y = \cos \theta\)。方程变成 \(3y^2 + 5y - 2 = 0\)。
因式分解得到 \((3y - 1)(y + 2) = 0\)。
因此，\(y = \frac{1}{3}\) 或 \(y = -2\)。
所以，\(\cos \theta = \frac{1}{3}\) 或 \(\cos \theta = -2\)。

第三步：筛选无效解并找出角度

由于 \(\cos \theta\) 的值域是 \(-1 \le \cos \theta \le 1\)，所以 \(\cos \theta = -2\) 是不可能的。
我们只需解 \(\cos \theta = \frac{1}{3}\)。

针对 \(\cos \theta = \frac{1}{3}\) 按照前面提到的步骤 2–4 进行计算。

重点摘要（解方程）：如果角度不仅仅是 \(\theta\)，请务必先调整区间。必要时使用恒等式将其变成二次方程形式，并始终检查最终角度是否在指定的范围内。