简介：应对税务分配

欢迎！在之前的学习中，我们探讨了如何根据毛现金流量（gross cashflows）来为债券估值。然而，在现实世界中，投资者很少能把每一分钱都收进口袋。政府通常会征收部分利息作为所得税 (income tax)，并征收部分利润作为资本利得税 (capital gains tax, CGT)。

对于精算师来说，计算债券的“公平价格”意味着要观察净现金流量 (net cashflows)——即真正落入投资者口袋的资金。如果这听起来有点专业，请不要担心；一旦你理解了“税后 (net of tax)”的逻辑，公式就会变得容易处理得多！

1. 理解两类税项

当投资者购买固定利息债券时，通常面临两类税项：

A. 所得税 (Income Tax)

这是对票息 (coupons)（即定期支付的利息）征收的税。如果债券支付的毛票息为 \(D\)，所得税率为 \(t_1\)，则投资者实际收到的金额为：
净票息 (Net Coupon) = \(D \times (1 - t_1)\)

B. 资本利得税 (Capital Gains Tax, CGT)

这是对买入价 (\(P\)) 与赎回价 (\(R\)) 之间的“利润”征收的税。如果你卖出（或赎回）债券的价格高于买入价，政府就会从中抽取利润。
资本利得 (Capital Gain) = \(R - P\) （前提是 \(R > P\)）
税款 (Tax Amount) = \(t_2 \times (R - P)\)，其中 \(t_2\) 为资本利得税率。

快速回顾：

  • 所得税影响债券价格中的年金 (annuity) 部分（即票息）。
  • 资本利得税影响结尾的一次性款项 (lump sum)（即赎回金额）。

2. 含税的债券价格基本公式

为了计算提供净收益率 \(i\) 的债券价格 (\(P\))，我们需要建立一个价值等式 (equation of value)。我们假设投资者想要计算所有未来净现金流量的现值。

通用公式如下：
\(P = g(1 - t_1) a_{\overline{n}|i} + R v^n - t_2(R - P) v^n\)

其中：

  • \(P\) = 买入价
  • \(g\) = 每年毛票息率（因此 \(g \times R\) 为年度票息）
  • \(t_1\) = 所得税率
  • \(t_2\) = 资本利得税率
  • \(R\) = 赎回价值（通常为 100）
  • \(n\) = 距离赎回的时间
  • \(i\) = 投资者要求的净赎回收益率

为什么等式两边都有 \(P\)？

你可能会注意到 \(P\) 出现在主公式中，同时也出现在资本利得税项中。这是因为税款取决于价格，而价格又取决于税款！在考试中，你通常需要重新排列这个等式来求解 \(P\)。

求解 \(P\) 的逐步移项过程：
1. 展开括号：\(P = g(1 - t_1) a_{\overline{n}|} + R v^n - t_2 R v^n + t_2 P v^n\)
2. 将所有含 \(P\) 的项移到同一边：\(P - t_2 P v^n = g(1 - t_1) a_{\overline{n}|} + R v^n(1 - t_2)\)
3. 提取公因子 \(P\)：\(P(1 - t_2 v^n) = g(1 - t_1) a_{\overline{n}|} + R v^n(1 - t_2)\)
4. 求解：\(P = \frac{g(1 - t_1) a_{\overline{n}|} + R v^n(1 - t_2)}{1 - t_2 v^n}\)

3. “资本利得测试”：我们需要交税吗？

这是很多学生丢分的关键点！只有在确实产生收益的情况下，才需要缴纳资本利得税。

如果买入价 (\(P\)) 高于赎回价 (\(R\))，投资者就产生了资本损失 (capital loss)。在 CM1 的课程大纲中，我们通常假设投资者在这种特定情况下不能就损失申请退税。因此：
如果 \(P \geq R\)： 资本利得税项直接为 0。
如果 \(P < R\)： 资本利得税项需包含在公式中。

你知道吗？ 这会产生一个“逻辑循环”。要确定是否需要包含资本利得税，你需要知道 \(P\) 是否小于 \(R\)。但你现在还不知道 \(P\)！
秘诀： 比较净票息率与净收益率。
如果 \(g(1 - t_1) < i\)，则债券是以折价 (discount) 买入的 (\(P < R\))，因此需要缴纳资本利得税。
如果 \(g(1 - t_1) > i\)，则 \(P > R\)，无需缴纳资本利得税。

4. 收益率：当期收益率 vs 赎回收益率

虽然本章重点在于价值等式，但区分这两个术语非常重要：

  • 净当期收益率 (Net Running Yield)： 这仅考虑收入。计算公式为 \(\frac{g(1 - t_1)R}{P}\)。
  • 净赎回收益率 (Net Redemption Yield)： 这是满足完整价值等式（包括资本利得/损失和货币时间价值）的总体利率 \(i\)。

注：有关这些收益率基本定义的更多信息，请参阅“当期收益率、赎回收益率与指数挂钩债券”章节。

5. 逐步示例

题目： 某债券每年期末支付 8% 的毛票息，并在 10 年后以 100 赎回。一位投资者的所得税率为 25%，资本利得税率为 20%。计算该债券在提供 6% 净年收益率下的价格。

第 1 步：资本利得测试
净票息 = \(8\% \times (1 - 0.25) = 6\%\)。
要求的净收益率 = \(6\%\)。
由于净票息 = 净收益率，价格应正好等于面值 (\(P = 100\))。在这种情况下，\(P = R\)，因此无需缴纳资本利得税。

第 2 步：如果收益率是 7% 会怎样？
净票息 (6%) < 净收益率 (7%)。因此，\(P < 100\)，需要缴纳资本利得税。
使用移项后的公式：
\(P = \frac{8(1 - 0.25) a_{\overline{10}|0.07} + 100 v^{10}(1 - 0.20)}{1 - 0.20 v^{10}}\)
使用 \(i = 0.07\)：
\(a_{\overline{10}|} = 7.0236\)
\(v^{10} = 0.5083\)
\(P = \frac{(6 \times 7.0236) + (100 \times 0.5083 \times 0.80)}{1 - (0.20 \times 0.5083)} = \frac{42.1416 + 40.664}{0.89834} = 92.17\)

6. 应避免的常见陷阱

  • 混淆 \(t_1\) 与 \(t_2\)： 务必仔细检查哪个税率适用于票息，哪个适用于资本利得。它们通常是不同的！
  • 忽略票息支付频率： 如果票息是每半年支付一次，请记得使用 \(a_{\overline{n}|}^{(2)}\) 或相应调整你的利率 \(i\)。
  • 忘记资本利得税测试： 在开始计算之前，务必先进行快速检查（比较 \(g(1-t_1)\) 与 \(i\)），看看是否适用资本利得税。
  • 移项时的数学错误： 在尝试移动各项之前，先写出完整的价值等式通常会更安全。

核心要点

1. 税后净额： 始终使用净现金流量进行计算。净票息 = \(毛额 \times (1 - t_1)\)。
2. 资本利得税逻辑： 资本利得税仅在 \(P < R\) 时适用。如果买入价高于卖出价，请忽略资本利得税。
3. 公式： 价格 \(P\) 等于净票息的现值加上净赎回金额的现值。
4. 移项： 应熟练掌握当 \(P\) 出现在等式两边时如何求解 \(P\)。