Optional redemption dates: bounds on present value

简介：赎回日期的奥秘

在先前关于债券定价的研究中，通常假设赎回日期是固定的。但如果借款人（债券发行人）有权在特定时间范围内随时还款，情况会如何呢？这被称为附有可选赎回日期的债券（bond with optional redemption dates）。

想象你借钱给一个朋友，他们说：“我会在 5 到 10 年后的某个时间点还钱给你。”作为一名精算师，你需要知道：这份债券“现在”值多少钱？由于日期不确定，我们无法找出个精确的数值。相反，我们会寻找上下限（upper and lower bounds）——即可能出现的最大和最小现值。

如果这听起来有点复杂，别担心！我们会使用一个非常简单的“经验法则”来判断借款人会选择哪个日期。

注：本章内容建立在你对债券定价与收益率（Bond pricing and yields）的知识基础上。如果你需要复习基础债券公式，请参阅本节的前一章。

借款人的策略

最重要的一点是：借款人是理性的。他们希望节省金钱。因此，他们会选择对自己最有利的赎回日期（相对而言，这对作为投资者的你最不利）。

为了找出现值的范围，我们会测试赎回窗口的两个极端（例如：最早可能的日期和最晚可能的日期）。然后，我们会确定在给定收益率下，哪个日期会导致最低的价格。

可选赎回的“金科玉律”

借款人想提早还是延后赎回，取决于该债券相对于其赎回价值是处于溢价（premium）还是折价（discount）状态。

• 情况 1：赎回价格 \( > \) 净收入（债券处于折价状态）
  如果与借款人支付给你的利息相比，赎回款项对借款人来说是“昂贵”的，他们会希望尽可能长时间地保留你的资金。因此，他们会选择最晚的赎回日期。
• 情况 2：赎回价格 \( < \) 净收入（债券处于溢价状态）
  如果利息支出（票息）对借款人来说高于最终的赎回款项，他们会希望尽快停止支付这些票息。因此，他们会选择最早的赎回日期。

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计算上下限

在 CM1 课程大纲中，我们特别关注给定有效利率（\(i\)）下的现值（\(P\)）。为了找出范围，我们通常计算两个极端日期的价格：\(n_{min}\) 和 \(n_{max}\)。

考虑所得税和资本利得税（CGT）的债券价格公式通常表示为：

\(P = C(1-t_1)a_{\overline{n}|}^{(p)} + Rv^n - t_2(R - P)v^n\)

其中：
\(C\) = 年票息
\(t_1\) = 所得税率
\(R\) = 赎回价值
\(t_2\) = 资本利得税率
\(n\) = 赎回期限

你知道吗？虽然公式看起来很吓人，但可选赎回的逻辑通常可以归纳为比较净票息率与投资者要求的收益率。

如何确定“最坏情况”价格

1. 假设在最早日期赎回，计算价格。
2. 假设在最晚日期赎回，计算价格。
3. 下限（最低价格）是这两个数值中的较低者。
4. 上限（最高价格）是这两个数值中的较高者。

实例计算：寻找价格上下限

场景：一位投资者要求每年 \(8\%\) 的有效收益率。他们正在考虑一份年票息为 \(6\%\)（每年期末支付）的债券。该债券可在 10 至 15 年间的任何时间按 \(100\%\) 赎回。为简化起见，此示例中我们将忽略税项。

步骤 1：计算 \(n = 10\)（最早）时的价格
在 \(8\%\) 下，\(P = 6 \cdot a_{\overline{10}|} + 100 \cdot v^{10}\)
\(a_{\overline{10}|} = \frac{1 - (1.08)^{-10}}{0.08} = 6.7101\)
\(P = 6(6.7101) + 100(0.4632) = 40.26 + 46.32 = 86.58\)

步骤 2：计算 \(n = 15\)（最晚）时的价格
在 \(8\%\) 下，\(P = 6 \cdot a_{\overline{15}|} + 100 \cdot v^{15}\)
\(a_{\overline{15}|} = \frac{1 - (1.08)^{-15}}{0.08} = 8.5595\)
\(P = 6(8.5595) + 100(0.3152) = 51.36 + 31.52 = 82.88\)

分析：
投资者要求的收益率（\(8\%\)）高于票息率（\(6\%\)）。这意味着债券是以折价出售（价格 \( < 100\)）。
正如我们所预测的，下限（最低价格）出现在最晚的日期（\(n = 15\)），得出价格为 \(82.88\)。
上限（最高价格）出现在最早的日期（\(n = 10\)），得出价格为 \(86.58\)。

税收的影响

当涉及所得税和资本利得税（CGT）时，原则保持不变，但你必须使用净现金流。

如果债券可在一定范围内的单一日期根据借款人的选择赎回，借款人将选择导致投资者现值最低的日期。如果题目要求计算此类债券的“价格”，基于谨慎性原则，你应始终提供最低价值。

关键要点：“收益率 vs. 票息”快捷法

如果没有资本利得税：

• 如果 收益率 \( > \) 净票息率：最低价格在最晚日期。
• 如果 收益率 \( < \) 净票息率：最低价格在最早日期。

应避免的常见错误

• 假设中间日期：千万不要只取日期的平均值。借款人会选择极端日期，而不是中间日期。
• 忘记税项：在进行折现前，确保已对票息征收所得税，并对利润（赎回价格减去购买价格）征收资本利得税。
• 混淆借款人与投资者：始终记住，借款人会选择对他们来说最便宜的日期，这对投资者的估值而言是“最坏”的结果。