Loan schedules, capital and interest components, APR

Q: 贷款在时间 $t = 0$ 的基本价值方程是什么？

贷款额等于未来所有还款现值之和：$L = \sum_{t=1}^{n} X_t v^t$；若为每年后付等额还款 $X$，则为 $L = X a_{\overline{n}|}$。

Q: 当每年还款 $p$ 次（每次还款额为 $\frac{X}{p}$）时，贷款的价值方程如何表示？

价值方程为 $L = X a_{\overline{n}|}^{(p)}$，其中 $a_{\overline{n}|}^{(p)} = \frac{1 - v^n}{i^{(p)}}$。

Q: 什么是计算未偿还贷款余额的预期法（Prospective Method）？

预期法将时间 $t$ 的未偿还余额 $L_t$ 计算为未来所有尚待支付还款在时间 $t$ 的现值总和：$L_t = X a_{\overline{n - t}|}$。

Q: 什么是计算未偿还贷款余额的回溯法（Retrospective Method）？

回溯法将时间 $t$ 的未偿还余额 $L_t$ 计算为原始贷款累积至时间 $t$ 的价值减去过去所有已付还款累积至时间 $t$ 的价值：$L_t = L(1 + i)^t - X s_{\overline{t}|}$。

Q: 在任意时间 $t$ 的分期还款 $X_t$ 中，利息部分 $I_t$ 和本金部分 $C_t$ 分别如何定义与计算？

利息部分等于期初贷款余额乘以当期利率：$I_t = i \cdot L_{t-1}$；本金部分为还款总额扣除利息后的余额：$C_t = X_t - I_t$。

Q: 在等额年度还款的贷款中，第 $t$ 期偿还的本金 $C_t$ 与相邻各期的本金有什么代数关系？

第 $t$ 期的本金部分为 $C_t = X v^{n - t + 1}$，且各期本金呈几何级数递增，满足关系式 $C_{t+1} = C_t(1 + i)$。

Q: 在整笔等额还款贷款期限内，所偿还的总本金和支付的总利息分别有什么简单的验算公式？

所有各期偿还本金之和等于原始贷款额（$\sum C_t = L$），总利息等于所有还款总额减去贷款额（$\sum I_t = n X - L$）。

Q: 什么是实际年利率（APR），其价值方程如何表达？

APR 是使期初借款人收取的净贷款额与未来支付的所有分期还款及强制性费用现值相等的实际年利率：$L - E_0 = \sum_t (X_t + e_t)(1 + \text{APR})^{-t}$。

Q: 为什么消费信贷中所宣传的“月平息”（Flat Rate）会严重低估借款人的实际年利率（APR）？

因为月平息基于全部初始本金计算整期利息，而忽略了借款人按月还款使得未偿还本金余额逐月减少的事实，导致真实 APR 往往接近平息的两倍。

Q: 当贷款利率在时间 $k$ 由 $i$ 变更为 $i'$ 时，如何计算剩余期限内的全新等额还款额？

先用原利率 $i$ 计算刚完成第 $k$ 期还款后的未偿余额 $L_k = X a_{\overline{n-k}|i}$，再用新利率 $i'$ 求解新的还款额 $X' = \frac{L_k}{a_{\overline{n-k}|i'}}$。

CM1 – Actuarial Mathematics for Modelling · IFoA (Institute and Faculty of Actuaries) · 阅读约 5 分钟 · 更新于: 2026年10月22日

贷款摊还表、本金与利息及实际年利率（APR）简介

欢迎来到 CM1 的核心章节！无论是住房按揭、汽车贷款，还是企业项目融资，贷款都是商业金融的基石。在这一章中，我们将探讨贷款的结构、每期定期还款如何划分为利息与本金，以及如何通过实际年利率（APR）来衡量借贷的真正年度成本。

刚开始接触时如果觉得有点复杂，千万不要担心。本章的核心其实只建立在大家早已熟悉的一个简单概念上：价值方程（equation of value），即把借入的贷款额与未来还款的现值划上等号。

考试大纲备注：本章严格针对课程大纲第 2.2 节（“以定期分期偿还利息及本金的贷款——还款额、利息与本金组成部分、实际年利率（APR）及还款摊还表”）。本节的其他应用范畴，例如债券定价、项目评估及股票估值，则会在其他相关章节中详细讨论。

1. 贷款基本原理与还款结构

贷款的价值方程

当借入金额为 $L$，每期实际利率为 $i$，并在每期期末以一系列还款 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 偿还时，时间 $t = 0$ 时的价值方程为：

$L = \sum_{t=1}^{n} X_t v^t$

其中 $v = \frac{1}{1 + i}$ 为每期的贴现因子（discount factor）。

如果贷款是以等额每年后付还款（金额为 $X$）在 $n$ 年内偿还，且年实际利率为 $i$，方程便可简化为大家熟悉的精算公式：

$L = X a_{\overline{n}|}$

其中 $a_{\overline{n}|} = \frac{1 - v^n}{i}$。由此，我们可以轻松求出每年的等额分期还款额：

$X = \frac{L}{a_{\overline{n}|}}$

每年支付 $p$ 次的还款（$p$-thly）

在现实生活中，像按揭这类贷款通常是按月或按季偿还。如果每年还款 $p$ 次，每次偿还等额款项 $\frac{X}{p}$，为期 $n$ 年（即每年还款总额为 $X$），则在年实际利率为 $i$ 的情况下，价值方程为：

$L = X a_{\overline{n}|}^{(p)}$

请复习 $a_{\overline{n}|}^{(p)}$ 与名义利率 $i^{(p)}$ 之间的标准恒等式：

$a_{\overline{n}|}^{(p)} = \frac{1 - v^n}{i^{(p)}}$

其中 $(1 + i) = \left(1 + \frac{i^{(p)}}{p}\right)^p$。

重点复习：借款人支付的每一期还款，实际上都发挥着两个截然不同的功用：

1. 支付贷款人就刚结束该期内尚未偿还余额所收取的利息。

2. 扣除利息后的剩余款项，则用来扣减贷款本金。

2. 尚未偿还贷款余额：预期法与回溯法

在任何时间 $t$（$0 < t < n$），我们经常需要计算尚未偿还贷款余额，记作 $L_t$。在数学上有两种等价的计算方法：预期法（prospective method，向前看）与回溯法（retrospective method，向后看）。

预期法贷款余额

预期法是对未来所有尚未支付的还款进行估值：

$L_t = \text{所有未来尚待支付还款在时间 } t \text{ 的现值}$

对于等额每年还款 $X$，且尚余 $n - t$ 期还款时：

$L_t = X a_{\overline{n - t}|}$

为什么考生最喜欢这个方法：在考试题目中，只要未来的还款额保持不变，这种方法几乎永远是最快捷、最简单的计算途径。

回溯法贷款余额

回溯法则是将过去的现金流累积推进至时间 $t$ 进行估值：

$L_t = \text{原贷款额在时间 } t \text{ 的累积值} - \text{所有已付还款在时间 } t \text{ 的累积值}$

对于已支付了 $t$ 期的等额每年还款 $X$：

$L_t = L(1 + i)^t - X s_{\overline{t}|}$

其中 $s_{\overline{t}|} = \frac{(1 + i)^t - 1}{i}$。

两种方法的等价性

只要利率 $i$ 全程保持不变，两种方法得出的结果完全一致：

$L(1 + i)^t - X s_{\overline{t}|} = (X a_{\overline{n}|})(1 + i)^t - X \frac{(1 + i)^t - 1}{i} = X \left[ \frac{1 - v^n}{i}(1 + i)^t - \frac{(1 + i)^t - 1}{i} \right] = X \left[ \frac{1 - v^{n-t}}{i} \right] = X a_{\overline{n - t}|}$

重要窍门：若未来的还款固定且简单，应使用预期法。若过去的还款简单，但未来的还款有所调整或存在未知变量，则应使用回溯法。

3. 分期还款中的本金与利息部分

考虑在时间 $t$ 支付的还款额 $X_t$。它由两部分组成：

$X_t = I_t + C_t$

其中 $I_t$ 为利息部分，而 $C_t$ 为偿还本金部分。

逐步拆解

步骤 1：利息部分（$I_t$）
利息是按该期期初（即时间 $t - 1$）尚未偿还的本金余额计算的：

$I_t = i \cdot L_{t-1}$

步骤 2：本金部分（$C_t$）
偿还的本金是该期还款在扣除利息后的余额：

$C_t = X_t - I_t = X_t - i \cdot L_{t-1}$

步骤 3：更新贷款余额
期末尚未偿还的余额等于上一期余额减去已偿还的本金：

$L_t = L_{t-1} - C_t$

等额年金贷款的代数表达式

当贷款是以等额每年还款 $X$ 偿还时，我们可以将预期余额 $L_{t-1} = X a_{\overline{n - t + 1}|}$ 代入 $I_t$ 的公式：

$I_t = i \cdot X a_{\overline{n - t + 1}|} = i \cdot X \left( \frac{1 - v^{n - t + 1}}{i} \right) = X (1 - v^{n - t + 1})$

因此，本金部分为：

$C_t = X - I_t = X - X (1 - v^{n - t + 1}) = X v^{n - t + 1}$

请留意这个优美的等比数列！对于等额年度还款：

$C_t = X v^{n - t + 1}$

$C_{t+1} = X v^{n - (t+1) + 1} = X v^{n - t} = C_t(1 + i)$

考考你：在等额还款的安排下，偿还本金的部分每年会以利率 $i$ 呈几何级数增长：$C_{t+1} = C_t (1 + i)$，而利息部分 $I_t$ 则随着尚未偿还的本金减少而逐年递减。

4. 贷款摊还表（Loan Schedule）

贷款摊还表（又称还款排期表）记录了贷款在各个时间步长中的演变情况。应考 CM1B（Excel 试卷）的考生经常需要构建此类表格，而应考 CM1A（Word 试卷）的考生则可能被要求手算个别行数，或解释不同项目之间的相互关系。

等额还款摊还表结构

年份 $t$	期初未偿还余额 $L_{t-1}$	总分期还款额 $X_t$	已付利息 $I_t = i \cdot L_{t-1}$	已还本金 $C_t = X_t - I_t$	期末未偿还余额 $L_t = L_{t-1} - C_t$
$1$	$X a_{\overline{n}\|}$	$X$	$X (1 - v^n)$	$X v^n$	$X a_{\overline{n-1}\|}$
$2$	$X a_{\overline{n-1}\|}$	$X$	$X (1 - v^{n-1})$	$X v^{n-1}$	$X a_{\overline{n-2}\|}$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$t$	$X a_{\overline{n-t+1}\|}$	$X$	$X (1 - v^{n-t+1})$	$X v^{n-t+1}$	$X a_{\overline{n-t}\|}$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$n$	$X a_{\overline{1}\|}$	$X$	$X (1 - v)$	$X v$	$0$
总计	—	$n \cdot X$	$n X - L$	$L$	—

实用验算方法：所有偿还本金的总和必须等于最初的贷款总额：

$\sum_{t=1}^n C_t = \sum_{t=1}^n X v^{n - t + 1} = X (v^n + v^{n-1} + \dots + v) = X a_{\overline{n}|} = L$

而整个贷款期内支付的总利息，就只不过是：

$\sum_{t=1}^n I_t = \sum_{t=1}^n X_t - \sum_{t=1}^n C_t = n X - L$

5. 逐步示范例题：计算组成部分与余额

某借款人借入一笔 \$10,000 的贷款，分 5 年于每年期末以等额年金偿还，年实际利率为 $6\%$。

步骤 1：计算每年等额还款额 $X$

$a_{\overline{5}|} = \frac{1 - (1.06)^{-5}}{0.06} = \frac{1 - 0.747258}{0.06} = 4.212364$

$X = \frac{10000}{4.212364} = 2373.96$

步骤 2：计算第 1 年的各项组成部分

$I_1 = 0.06 \times 10000 = 600.00$

$C_1 = X - I_1 = 2373.96 - 600.00 = 1773.96$

$L_1 = 10000 - 1773.96 = 8226.04$

步骤 3：直接计算第 3 年的各项组成部分

无须逐年推算第 2 年的数据，我们可以直接套用标准公式：

$C_3 = X v^{5 - 3 + 1} = X v^3 = 2373.96 \times (1.06)^{-3} = 2373.96 \times 0.839619 = 1993.22$

$I_3 = X - C_3 = 2373.96 - 1993.22 = 380.74$

利用时间 $t = 2$ 的预期余额进行验算：

$L_2 = X a_{\overline{3}|} = 2373.96 \times \frac{1 - (1.06)^{-3}}{0.06} = 2373.96 \times 2.673012 = 6345.62$

$I_3 = 0.06 \times L_2 = 0.06 \times 6345.62 = 380.74$。（结果完全相符！）

6. 实际利率：实际年利率（APR）

什么是 APR？

贷款机构公布的表面宣传利率，往往未能反映借款人真正承担的经济成本，因为当中可能包含强制性的预缴行政费、估价费、手续费或复利计算频率等因素。为保障消费者并提供一致的比较基准，法规要求贷款机构必须列明实际年利率（APR）。

在精算数学中，APR 被定义为使借款人收取的净贷款额与其支付的所有还款及强制性费用现值相等的年实际利率。

APR 的价值方程

若借款人借入名义贷款额 $L$，但需在期初支付手续费 $E_0$，随后在各个时间 $t$ 支付分期还款 $X_t$ 以及定期费用或收费 $e_t$，则 APR 就是满足下列方程的唯一利率 $i$：

$L - E_0 = \sum_{t} (X_t + e_t)(1 + i)^{-t}$

从另一角度来看：

$t = 0 \text{ 时收取的净款项} = \text{借款人所有支出以 APR 贴现后的现值}$

重要提示：由于各项手续费会减少期初实际收取的净贷款额，因此 APR 必定大于或等于债务所标明的名义利率或合同利率。

常见陷阱：名义月平息（Flat Rates）对比实际年利率（APR）

商业消费信贷中最常见的手法，就是引用“月平息”（flat rate）。

例子：贷款机构提供一笔 \$1,000 的 1 年期贷款，声称“平息只需 $10\%$，分 12 个月等额偿还”。

收取的总利息为 $10\% \times 1000 = \$100$。总还款额 = \$1,100，即每月分期还款为：

$\frac{1100}{12} = 91.67$

实际利率（APR）真的只是 $10\%$ 吗？绝对不是！因为借款人并没有在整年间完整占用那 \$1,000；本金每个月都在逐步偿还。用以计算月实际利率 $j$ 的价值方程为：

$1000 = 91.67 a_{\overline{12}|j}$

求解可得每月实际利率 $j \approx 1.498\%$。因此实际年利率（APR）为：

$\text{APR} = (1 + j)^{12} - 1 \approx (1.01498)^{12} - 1 \approx 19.5\%$

APR 几乎是平息的两倍！请时刻牢记：只要还款随时间逐步减少尚未偿还的本金，真正的 APR 就会显著高于所报的平息。

7. 处理贷款条件变更（利率变更及提前还款）

在精算考试中，题目经常考核大家在贷款条件中途发生变化时的应变与计算能力。

利率变动

假设利率在时间 $k$ 由 $i$ 调整为 $i'$：

1. 计算尚未偿还余额 $L_k$：在刚支付时间 $k$ 的还款后，利用原有利率 $i$ 计算：

$L_k = X a_{\overline{n-k}|i}$

2. 确定新的还款额 $X'$：以新利率 $i'$ 计算剩余 $n - k$ 期的还款额：

$L_k = X' a_{\overline{n-k}|i'} \implies X' = \frac{L_k}{a_{\overline{n-k}|i'}}$

3. 如果维持每期还款额 $X$ 不变，则需计算清还剩余余额所需的新期限 $m$：

$L_k = X a_{\overline{m}|i'}$

提前偿还部分本金

若借款人在时间 $k$ 额外偿还一笔总括本金 $C^*$：

新的尚未偿还余额为 $L_k' = L_k - C^*$。借款人通常可以选择：

• 减少未来每期还款额：保持原有的剩余还款期数 $n - k$，并解方程 $L_k' = X_{\text{new}} a_{\overline{n-k}|}$。

• 缩短还款期：保持每期还款额 $X$ 不变，并从 $L_k' = X a_{\overline{m}|}$ 解出缩短后的剩余期数 $m$。

8. 核心公式摘要

概念	公式
价值方程（每年还款）	$L = X a_{\overline{n}\|i}$
价值方程（每年支付 $p$ 次）	$L = X a_{\overline{n}\|i}^{(p)}$
预期法余额	$L_t = X a_{\overline{n-t}\|i}$
回溯法余额	$L_t = L(1 + i)^t - X s_{\overline{t}\|i}$
时间 $t$ 的利息部分	$I_t = i \cdot L_{t-1} = X(1 - v^{n-t+1})$
时间 $t$ 的本金部分	$C_t = X_t - I_t = X v^{n-t+1}$
本金增长关系式	$C_{t+1} = C_t(1 + i)$
APR 价值方程	$L - \text{期初费用} = \sum (\text{分期还款} + \text{杂费}) \cdot (1 + \text{APR})^{-t}$

快速检查

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展开每个问题，快速检查你是否掌握本章重点。

贷款在时间 $t = 0$ 的基本价值方程是什么？

贷款额等于未来所有还款现值之和：$L = \sum_{t=1}^{n} X_t v^t$；若为每年后付等额还款 $X$，则为 $L = X a_{\overline{n}|}$。

当每年还款 $p$ 次（每次还款额为 $\frac{X}{p}$）时，贷款的价值方程如何表示？

价值方程为 $L = X a_{\overline{n}|}^{(p)}$，其中 $a_{\overline{n}|}^{(p)} = \frac{1 - v^n}{i^{(p)}}$。

什么是计算未偿还贷款余额的预期法（Prospective Method）？

预期法将时间 $t$ 的未偿还余额 $L_t$ 计算为未来所有尚待支付还款在时间 $t$ 的现值总和：$L_t = X a_{\overline{n - t}|}$。

什么是计算未偿还贷款余额的回溯法（Retrospective Method）？

回溯法将时间 $t$ 的未偿还余额 $L_t$ 计算为原始贷款累积至时间 $t$ 的价值减去过去所有已付还款累积至时间 $t$ 的价值：$L_t = L(1 + i)^t - X s_{\overline{t}|}$。

在任意时间 $t$ 的分期还款 $X_t$ 中，利息部分 $I_t$ 和本金部分 $C_t$ 分别如何定义与计算？

利息部分等于期初贷款余额乘以当期利率：$I_t = i \cdot L_{t-1}$；本金部分为还款总额扣除利息后的余额：$C_t = X_t - I_t$。

在等额年度还款的贷款中，第 $t$ 期偿还的本金 $C_t$ 与相邻各期的本金有什么代数关系？

第 $t$ 期的本金部分为 $C_t = X v^{n - t + 1}$，且各期本金呈几何级数递增，满足关系式 $C_{t+1} = C_t(1 + i)$。

在整笔等额还款贷款期限内，所偿还的总本金和支付的总利息分别有什么简单的验算公式？

所有各期偿还本金之和等于原始贷款额（$\sum C_t = L$），总利息等于所有还款总额减去贷款额（$\sum I_t = n X - L$）。

什么是实际年利率（APR），其价值方程如何表达？

APR 是使期初借款人收取的净贷款额与未来支付的所有分期还款及强制性费用现值相等的实际年利率：$L - E_0 = \sum_t (X_t + e_t)(1 + \text{APR})^{-t}$。

为什么消费信贷中所宣传的“月平息”（Flat Rate）会严重低估借款人的实际年利率（APR）？