欢迎来到股票与物业估值！

在之前的章节中，我们研究了债券等固定收益证券，其支付金额是已知且保持不变的。但如果收入随时间增长会发生什么呢？这正是普通股（股息通常会增加）和投资物业（租金会定期调整并通常会调升）的情况。

在本章中，我们将把价值方程（Equation of Value）应用于这些“增长型资产”。如果公式起初看起来有点吓人，请不要担心——一旦你掌握了其中的规律，它就像你读书时学过的等比数列（geometric progression）一样简单！

1. 基础知识：股票 vs. 物业

在深入计算之前，让我们看看我们到底在估算什么的价值：

  • 普通股：你拥有一家公司的一部分。公司向你支付股息。这些股息并非固定的；随着公司盈利增加，股息通常也会增长。
  • 物业：你拥有一个物业并将其出租给租客。租客向你支付租金。虽然租金可能在几年内保持不变，但通常会在“租金调整”（rent reviews）时调高，以跟上通胀或市场需求。

核心概念：与债券不同，这些资产在理论上是永久存在的（永续资产）。因此，我们计算的是无限流增长支付额的现值（Present Value, PV）。

2. 恒定增长：股息折现模型

如果我们假设收入以恒定的年复利率增长，我们可以使用一个非常优雅的公式。假设：

  • \( D \) = 刚刚支付的股息/租金（在时间 \( t=0 \)）
  • \( g \) = 恒定年增长率
  • \( i \) = 要求的回报率（利率）
  • \( v \) = 折现因子 \( (1+i)^{-1} \)

现金流量将会是：

在时间 1：\( D(1+g) \)
在时间 2：\( D(1+g)^2 \)
在时间 3：\( D(1+g)^3 \)
...以此类推。

价值方程

现值（\( PV \)）是所有这些折现现金流的总和：

\( PV = D(1+g)v + D(1+g)^2 v^2 + D(1+g)^3 v^3 + \dots \ )

这是一个首项为 \) a = D(1+g)v \)，公比为 \( r = (1+g)v \) 的等比数列。

只要 \( |(1+g)v| < 1 \)（这等同于说 \( g < i \)），其无穷级数之和为：

\( PV = \frac{a}{1-r} = \frac{D(1+g)v}{1-(1+g)v} \)

简化版本

如果将分子和分母同时乘以 \( (1+i) \)，公式可以漂亮地简化为：

\( PV = \frac{D(1+g)}{i - g} \)

注：\( D(1+g) \) 正是第一年年末预期发放的股息。我们称之为 \( D_1 \)。

\( PV = \frac{D_1}{i - g} \)

快速回顾：“i 减 g”准则

这是本章最有名的公式！要计算增长型永续年金的价格，请用下一次预期支付额除以利率减去增长率。

3. 变动增长（多阶段模型）

在现实世界中，增长并不总是恒定的。一家公司可能在 5 年内高速增长，然后回落到“正常”的增长率。为了计算其价值，我们使用两步法。

步骤说明：

  1. 第一步：计算“高增长”期间每一笔股息的现值。
  2. 第二步：使用恒定增长公式，计算增长变得恒定那一刻起，所有未来股息的价值。（这通常称为“终端价值”Terminal Value）。
  3. 第三步：将该终端价值折现回现在。
  4. 第四步：将它们相加！

例子：某股票今天支付了 \( \$2 \) 股息。未来 2 年将以 \( 10\% \) 增长，之后永久以 \( 3\% \) 增长。利率为 \( 8\% \)。

第一年股息： \( 2(1.10) = 2.20 \)
第二年股息： \( 2(1.10)^2 = 2.42 \)

第二年年末“永久部分”的价值：
使用 \( \frac{D_3}{i-g} \)，其中 \( D_3 = 2.42(1.03) = 2.4926 \)
\( Value_{t=2} = \frac{2.4926}{0.08 - 0.03} = 49.852 \)

今天的总现值：
\( PV = 2.20v + 2.42v^2 + 49.852v^2 \)
（其中 \( v = 1/1.08 \)）

4. 计算收益率

有时考试会给出价格（Price）并要求计算收益率（Yield）（即利率 \( i \)）。

使用我们最爱的公式： \( P = \frac{D_1}{i-g} \)

我们可以将其重新排列以求解 \( i \)：

\( i = \frac{D_1}{P} + g \)

通俗来说：收益率 = 股息率 + 增长率。

你知道吗？这解释了为什么像科技股这样的“增长股”股息率通常很低。投资者之所以接受极小的 \( \frac{D_1}{P} \)，是因为他们预期 \( g \) 会非常高！

5. 实质增长 vs. 名义增长

课程大纲提到了计算“名义或实质”收益率。这与通胀（Inflation）有关。

  • 名义（Nominal）：实际的现金金额（例如，你的租金以现金计算增加了 \( 5\% \)）。
  • 实质（Real）：经通胀调整后的价值（例如，如果租金增加了 \( 5\% \) 但通胀率是 \( 3\% \)，则“实质”增长大约是 \( 2\% \)）。

至关重要的规则：务必保持一致！
- 使用名义利率对应名义增长率。
- 使用实质利率对应实质增长率。

6. 应避免的常见陷阱

如果你觉得这有点难，别担心；即使是顶尖学生也会犯这些错误：

  • “D0”与“D1”陷阱：公式 \( \frac{D}{i-g} \) 需要的是第一年年末的股息。如果题目说“股息刚刚发放”，那就是 \( D_0 \)。在代入公式之前，你必须先将其乘以 \( (1+g) \)。
  • “g > i”的不可能情况：从数学上讲，如果 \( g > i \)，公式会得出负数，这显然不合理。在现实世界中，公司的增长速度不可能永远快于整体经济！
  • 支付时间：通常假设股息是按年期末付（in arrear）的。如果题目提到“连续”（continuous）支付（在物业估值中较常见），你可能需要使用利力（force of interest） \( \delta \) 或连续年金函数，但“i-g”的逻辑依然适用。

重点回顾

1. 恒定增长：使用 \( PV = \frac{D_1}{i-g} \)。

2. 变动增长：手动计算前几笔支付额，然后对“尾部”使用公式并将其折现回现在。

3. 收益率：总回报是股息率与增长率之和（\( i = \frac{D_1}{P} + g \)）。

4. 一致性：名义利率配名义增长，实质利率配实质增长。